物理 / 単振動

地球を貫くトンネル

★★★ 応用単振動万有引力

問題

地球の中心を通るまっすぐなトンネルを掘り、物体を静かに落とす(摩擦・空気抵抗は無視する)。地球内部では、中心からの距離 $x$ の位置の物体にはたらく重力が $F = - \frac{m g}{R} x$ ( $R$ : 地球半径、 $g$ : 地表の重力加速度)と表せることが知られている。(1) この物体の運動が単振動になる理由を述べ、周期 $T$ を $R, g$ で表せ。 (2) $R = 6.4 \times 1 0^{6} m$ 、 $g = 9.8 m/ s^{2}$ 、 $π = 3.14$ として周期を分単位で求めよ。 (3) 反対側の地表に到達するまでの時間は何分か。

地球を貫くトンネル。内部の重力は中心からの距離に比例する

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与えられた力の式は、まさに −(定数)×x の形をしている——単振動の認定に必要なものはもう揃っている。反対側の地表は、振動でいうとどの位置か(端から端まで、時間にして周期の何分の何か)。

解答・解説

方針

K=mg/R の復元力→T=2π√(m/K)=2π√(R/g)=5078 s≈85 分。反対側到達は T/2≈42 分。低軌道衛星の周期と同じ値になる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 SF のような設定だが、与えられた力 $F = - \frac{m g}{R} x$ はそのまま復元力の形である。a01 の認定手続きに流し込むだけで解ける。

① 単振動の認定と周期。 $F = - K x$ ( $K = \frac{m g}{R}$ )の形だから、地表(端 $x = \pm R$ )を振幅とする単振動である。

$T = 2 π \frac{m}{K} = 2 π \frac{m R}{m g} = 2 π \frac{R}{g}$

質量 $m$ は消える(等時性)。

② 数値。

$T = 2 π \frac{6.4 \times 1 0 ^{6}}{9.8} = 2 π 6.53 \times 1 0^{5} = 2 π \times 808 = 5.08 \times 1 0^{3} s \approx 85 分$

③ 反対側まで。 出発点(端)から反対の端までは半周期:

$\frac{T}{2} \approx 42 分$

まとめ $T = 2 π R / g$ は、地表すれすれを回る人工衛星の周期と同じ式である(円運動: $\frac{m v ^{2}}{R} = m g$ から導ける)。トンネル落下は「衛星の円運動の影」そのもの——どこ行きのトンネルでも(中心を通らない弦のトンネルでも)片道約 42 分になることが知られている。復元力の形さえ与えられれば、地球規模の問題も b05 と同じ 3 行で解ける。

答

(1) $F = - (m g / R) x$ の復元力なので単振動。 $T = 2 π \frac{R}{g}$ (2) 約 $85$ 分( $5.1 \times 1 0^{3}$ 秒) (3) 半周期の約 $42$ 分

別解

衛星の影として理解するルート。 地表すれすれの円軌道の衛星は、向心加速度 $g$ で半径 $R$ を回る: $R ω^{2} = g$ より $ω = g / R$ 。この円運動をトンネルの方向へ正射影すると、振幅 $R$ ・同じ $ω$ の単振動になる——これがトンネル内の運動と一致する。

「単振動=等速円運動の影」(b02)を地球サイズで使う、最も鮮やかな実例である。周期が同じ 85 分になるのは偶然ではなく、同じ $ω$ を共有しているからである。

ポイント

F=−(mg/R)x は復元力そのもの
T=2π√(R/g)≈85 分・片道 42 分
低軌道衛星と同じ周期(影の関係)

よくある間違い

反対側到達を 1 周期分とする
√ の中の R/g を g/R とする
地球内部でも距離の 2 乗に反比例させる