物理 / 単振動

単振り子の周期

★ 基礎単振り子

問題

長さ $2.45 m$ の軽い糸の先に小球をつけた単振り子を、小さく振らせた。振動の周期を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ 、 $π = 3.14$ とする。

長さ 2.45 m の糸の先に小球をつけ、小さく振らせる

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単振り子の周期は糸の長さと重力加速度だけで決まる(小さい振れのとき)。2.45/9.8 がきれいな分数になることに気づくと、答えは π の形で出る。

解答・解説

単振り子の周期 T=2π√(L/g)。√(2.45/9.8)=√(1/4)=1/2 で T=π 秒。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 振れが小さいとき、単振り子は単振動とみなせて(導出は a03)、周期は

公式単振り子の周期

T = 2 π \frac{L}{g}

(小さい振れ。質量にも振幅にもよらない)

① 代入する。

$T = 2 π \frac{2.45}{9.8} = 2 π \frac{1}{4} = 2 π \times \frac{1}{2} = π = 3.14 \approx 3.1 秒$

まとめ おもりの質量が式にないのが最大の特徴で、重い球でも軽い球でも同じ周期で振れる(重力と慣性の相殺——自由落下が質量によらないのと同根)。振幅にもよらない(等時性)。長さと $g$ だけの時計——それが振り子時計の原理である。

答

$T = 2 π \frac{L}{g} = π \approx 3.1$ 秒

長さを変えた場合の感覚を添えるルート。 $T \propto L$ だから、周期を 2 倍にしたければ長さは 4 倍(9.8 m)必要になる。逆に 1/4 の 0.6125 m にすれば周期は半分の 1.6 秒。

「長さの平方根でしか効かない」ため、体感的には長さの違いほど周期は変わらない。公園のブランコ(数 m)の周期がどれも 3〜4 秒に収まっているのはこのためである。