物理 / 単振動

弾丸の衝突とばね振動(融合)

★★★ 応用単振動運動量保存融合

問題

なめらかな水平面上に、ばね定数 $40 N/m$ のばねの先に付けた質量 $0.30 kg$ の木片が静止している(ばねは自然長)。質量 $0.10 kg$ の弾丸が速さ $8.0 m/s$ で木片に撃ち込まれ、一体となってばねを押し縮めながら振動を始めた。(1) 一体となった直後の速さ (2) ばねの最大の縮み(=振幅) (3) 振動の周期をそれぞれ求めよ。 $π = 3.14$ とする。

弾丸が木片に撃ち込まれ、一体でばね振動を始める

ヒントを見る

「めり込む衝突」と「ばね振動」の 2 幕に分ける。第 1 幕で使える保存則と使えない保存則はどれだったか(運動量の単元の核心)。第 2 幕は、中心を速さ最大で通過する単振動として扱えばよい。

解答・解説

方針

衝突は運動量保存(0.10×8.0=0.40×V→V=2.0)。その後はエネルギー保存 ½(M+m)V²=½kA² で A=0.20。周期は合体質量 0.40 kg で 2π√(0.40/40)=0.628 s。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 融合問題は幕で切る。第 1 幕(衝突)は一瞬で、ばねはまだ仕事をしない——運動量保存(めり込む衝突なのでエネルギーは保存しない)。第 2 幕(振動)は摩擦なし——エネルギー保存。

① 衝突直後の速さ。 運動量保存:

$0.10 \times 8.0 = (0.30 + 0.10) V ⟹ V = \frac{0.80}{0.40} = 2.0 m/s$

② 最大の縮み。 合体直後は自然長の位置(=振動の中心)を速さ $V$ で通過する。最大の縮み(端)でエネルギーがすべて弾性エネルギーに:

$\frac{1}{2} (0.40) V^{2} = \frac{1}{2} k A^{2} ⟹ A = V \frac{0.40}{40} = 2.0 \times 0.10 = 0.20 m$

③ 周期。 振動する質量は合体後の $0.40 kg$ :

$T = 2 π \frac{0.40}{40} = 2 π \times 0.10 = 0.628 \approx 0.63 秒$

まとめ 衝突で失われたエネルギーは $\frac{1}{2} (0.10) (8.0)^{2} - \frac{1}{2} (0.40) (2.0)^{2} = 3.2 - 0.80 = 2.4 J$ (熱)——運動量は保存するがエネルギーは目減りする衝突の後、残った $0.80 J$ が振動のエネルギーになる。「衝突=運動量/その後=エネルギー」の役割分担は、力学の総合問題を貫く背骨である。

答

(1) $V = 2.0 m/s$ (2) $A = V \frac{M + m}{k} = 0.20 m$ (3) $T = 2 π \frac{M + m}{k} = 0.63$ 秒

別解

vmax=Aω で②を出すルート。 合体後の角振動数は $ω = \frac{k}{M + m} = \frac{40}{0.40} = 10 rad/s$ 。中心通過の速さ $V$ は最大速度そのものだから

$V = A ω ⟹ A = \frac{V}{ω} = \frac{2.0}{10} = 0.20 m$

エネルギー保存と同じ答えに 1 行で着く。 $v_{ma x} = A ω$ とエネルギー保存 $\frac{1}{2} m V^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$ は同じ内容の言い換えである(a04)。

ポイント

衝突=運動量保存、振動=エネルギー保存
中心通過の速さが vmax
周期は合体後の全質量で

よくある間違い

衝突を運動エネルギー保存で解く
振幅の計算に弾丸の初速 8.0 を直接使う
周期を木片 0.30 kg だけで計算する