加速する電車内の単振り子

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 加速する電車内では、重力 $g$ と慣性力の加速度 $a$ の合成

$$g^{\prime }=\sqrt{g^2+a^2}=\sqrt{9.8^2+7.35^2}=12.25m/{\mathrm{s}}^2$$

が見かけの重力になる($9.8:7.35:12.25=4:3:5$)。振り子は傾いた「見かけの鉛直」を中心に振れ、周期の式の $g$ がそっくり $g^{\prime }$ に置き換わる。

① 周期を計算する。

$$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g^{\prime }}}=2\pi \sqrt{\frac{2.45}{12.25}}=2\pi \sqrt{0.20}=2\pi \times 0.447=2.81\approx 2.8秒$$

まとめ 静止時は $T=2\pi \sqrt{2.45/9.8}=\pi =3.1$ 秒(b10)だったから、加速中は約 1 割速く振れる。見かけの重力が強まる=引き戻しが強まる=周期が縮む。エレベーターが上昇加速する場合($g^{\prime }=g+a$)も同じ理屈で周期が縮む——「$g$ を見かけの重力に差し替える」の一手で慣性系の振り子問題は全部つながる。

別解

倍率で見るルート。 $\frac{T^{\prime }}{T}=\sqrt{\frac{g}{g^{\prime }}}=\sqrt{\frac{9.8}{12.25}}=\sqrt{0.80}=0.894$。

$$T^{\prime }=3.14\times 0.894=2.8秒$$

静止時の周期(π 秒)を知っていれば、比の 1 行で済む。$g^{\prime }$ が $\frac{5}{4}$ 倍(4:5)だから周期は $\sqrt{4/5}$ 倍——分数の形でも美しく閉じている。