物理 / 単振動

単振動のエネルギー

★ 基礎単振動のエネルギー

問題

ばね定数 $20 N/m$ のばねに質量 $0.20 kg$ の物体をつけた水平ばね振り子を、振幅 $0.30 m$ で振動させている。(1) この振動の力学的エネルギー (2) 振動の中心を通過するときの速さをそれぞれ求めよ。

振幅 0.30 m で振動する水平ばね振り子。中心を通るときの速さを考える

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端(速さ 0)と中心(ばね自然長)で、エネルギーがどんな形をしているかを考える。全エネルギーは端の弾性エネルギーで決まり、中心ではそれが丸ごと運動エネルギーに変わっている。

解答・解説

方針

端では全エネルギーが弾性エネルギー ½kA²。中心では全部が運動エネルギー ½mv² になる。等置して vmax を出す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 単振動のエネルギーは、端で全部が弾性エネルギー、中心で全部が運動エネルギーという往復のやり取りである。合計は一定で、端の値 $\frac{1}{2} k A^{2}$ がその保存量になる。

① 力学的エネルギー。

$E = \frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} \times 20 \times 0.3 0^{2} = 0.90 J$

② 中心の速さ。 中心では全エネルギーが運動エネルギーだから

$\frac{1}{2} m v_{ma x}^{2} = 0.90 ⟹ v_{ma x} = \frac{2 \times 0.90}{0.20} = 9.0 = 3.0 m/s$

合計 0.90 J は一定。端と中心で形を入れ替えるだけ

まとめ 検算として $v_{ma x} = A ω = 0.30 \times 20/0.20 = 0.30 \times 10 = 3.0 m/s$ ✓——エネルギー経由と ω 経由が同じ値に合流する。 $E = \frac{1}{2} k A^{2}$ は「振幅の 2 乗に比例」で、振幅 2 倍ならエネルギー 4 倍。音や波の「エネルギーは振幅の 2 乗」の原型でもある。

答

(1) $E = \frac{1}{2} k A^{2} = 0.90 J$ (2) $v_{ma x} = 3.0 m/s$

別解

途中の位置も足して一般式にするルート。 任意の位置では

$E = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2} (一定)$

この式に $x = 0$ を入れれば②が、 $v = 0$ を入れれば $x = \pm A$ (端)が出る。1 本の保存式が全部の情報を握っている——s06 で「途中の速さ」を出すときも、この式に代入するだけである。

ポイント

E=½kA²(振幅の 2 乗に比例)
中心で全部 KE、端で全部弾性 E
vmax は Aω 経由でも検算できる

よくある間違い

E=kA² と ½ を落とす
中心でも弾性エネルギーが残るとする(自然長なので 0)
vmax の計算で m と k を取り違える