鉛直ばね振り子の中心の証明

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 b09 で使った「重力は中心をずらすだけで周期を変えない」を、今度は式で証明する。鍵は、合力の式につり合いの式を代入すると $mg$ が丸ごと消えることである。

① つり合いの伸び。 つり合いでは ばねの力 $k{x}_0$=重力 $mg$:

$$x_0=\frac{mg}{k}$$

② 変位 $X$ での合力。 このときばねの伸びは $x_0+X$。下向きを正として

$$F=mg-k(x_0+X)=mg-k{x}_0-kX$$

ここで①より $k{x}_0=mg$ だから $mg-k{x}_0=0$。よって

$$F=-kX$$

③ 結論。 合力は「つり合いの位置からの変位 $X$」に比例する復元力そのもの。したがって

• 振動の中心はつり合いの位置($X=0$ で合力 0)
• ${\omega }^2=\frac{k}{m}$ で周期は水平ばねと同一 $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$——重力 $g$ は式に残らない

まとめ 一定の力(重力)は、振動の中心を平行移動させるだけで、復元力の「傾き $k$」を変えない——これが証明の中身である。斜面(s10)でも電場中の荷電粒子でも、一定力が加わるだけなら周期不変。この 3 行の計算は、単振動の応用問題すべての土台になる。

別解

グラフ(力の直線)で見るルート。 力 $F$ を伸び $x$ のグラフにすると、ばねの力 $-kx$ に重力 $+mg$ を足した直線 $F=mg-kx$ になる。重力を足しても直線の傾き $-k$ は不変で、ゼロ点(中心)が $x_0=mg/k$ に平行移動するだけ。

周期は傾きだけで決まる(${\omega }^2=k/m$)から不変——代数の相殺を、直線の平行移動として目で理解する見方である。