物理 / 単振動

鉛直ばね振り子の中心の証明

★★★ 応用鉛直ばね導出

問題

ばね定数 $k$ の軽いばねを天井からつるし、質量 $m$ のおもりを付ける。つり合いの位置でのばねの伸びを $x_{0}$ とし、つり合いの位置から下向きに $X$ だけ変位したときのおもりにはたらく合力を考える。(1) $x_{0}$ を $m, g, k$ で表せ。 (2) 変位 $X$ のときの合力(下向きを正)が $- k X$ となることを示せ。 (3) この結果から、振動の中心と周期について言えることを述べよ。

ヒントを見る

変位 X の位置でのばねの伸びは x₀+X。合力=重力−ばねの力を書いたら、つり合いの式を代入してみる。何かがきれいに消えるはずだ。その消え方こそがこの問題で示すべきことである。

解答・解説

方針

つり合い kx₀=mg を先に確保し、変位 X での合力 mg−k(x₀+X) に代入すると mg が相殺して −kX だけが残る。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 鉛直ばね振り子の問題で使った「重力は中心をずらすだけで周期を変えない」を、今度は式で証明する。決め手は、合力の式につり合いの式を代入すると $m g$ が丸ごと消えることである。

① つり合いの伸び。 つり合いではばねの力 $k x_{0}$ =重力 $m g$ :

$x_{0} = \frac{m g}{k}$

② 変位 $X$ での合力。 このときばねの伸びは $x_{0} + X$ 。下向きを正として

$F = m g - k (x_{0} + X) = m g - k x_{0} - k X$

ここで①より $k x_{0} = m g$ だから $m g - k x_{0} = 0$ 。よって

$F = - k X$

③ 結論。 合力は「つり合いの位置からの変位 $X$ 」に比例する復元力そのもの。したがって

振動の中心はつり合いの位置( $X = 0$ で合力 0)
$ω^{2} = \frac{k}{m}$ で周期は水平ばねと同一 $T = 2 π \frac{m}{k}$ となり、重力 $g$ は式に残らない

合力の直線。重力はゼロ点を x₀ にずらすだけで傾き −k は変わらない

まとめ一定の力(重力)は振動の中心を平行移動させるだけで、復元力の「傾き $k$ 」を変えない。これが証明の中身である。斜面でも電場中の荷電粒子でも、一定力が加わるだけなら周期不変。この 3 行の計算は単振動の応用問題すべての基礎になる。

答

(1) $x_{0} = \frac{m g}{k}$ (2) 合力 $= m g - k (x_{0} + X) = - k X$ (3) 中心はつり合いの位置で、周期は水平ばねと同じ $T = 2 π \frac{m}{k}$ (重力は周期に影響しない)

別解

グラフ(力の直線)で見るルート。 力 $F$ を伸び $x$ のグラフにすると、ばねの力 $- k x$ に重力 $+ m g$ を足した直線 $F = m g - k x$ になる。重力を足しても直線の傾き $- k$ は不変で、ゼロ点(中心)が $x_{0} = m g / k$ に平行移動するだけ。

周期は傾きだけで決まる( $ω^{2} = k / m$ )から変わらない。代数の相殺を直線の平行移動として目で理解する見方である。

ポイント

つり合いの式を代入すると mg が消える
合力=−kX(中心=つり合いの位置)
一定力は中心を平行移動、周期は不変

よくある間違い

伸びを X だけとして x₀ を忘れる
符号の基準(下向き正)を途中で変えて混乱する
周期に g が入ると考える