エレベーターの中のばね振り子と単振り子

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2つの周期の式を並べて見比べるところから始める。

$$T_{\text{ばね}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}},T_{\text{振り子}}=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

片方には $g$ が入っていて、もう片方には入っていない。 ここがすべてである。

加速するエレベーターの中では、重力と慣性力を合わせた「見かけの重力」を使う。$g$ が入っている単振り子はその影響を受け、入っていないばね振り子は受けない。

なぜばね振り子が影響を受けないのかは、④で復元力の形から説明する。

① 静止しているとき。

$$T_{\text{ばね}}=2\pi \sqrt{\frac{0.50}{8.0}}=2\pi \times 0.25=\frac{\pi }{2}\fallingdotseq 1.6\mathrm{s}$$

$$T_{\text{振り子}}=2\pi \sqrt{\frac{0.98}{9.8}}=2\pi \sqrt{0.10}\fallingdotseq 2.0\mathrm{s}$$

② 上向きに加速しているとき。 エレベーターと一緒に動く立場では、おもりに下向きの慣性力 $ma$ が加わる。重力と合わせた見かけの重力加速度は

$$g^{\prime }=g+a=9.8+2.45=12.25m/{\mathrm{s}}^2$$

$g$ の $1.25$ 倍である。

単振り子は

$$T_{\text{振り子}}^{\prime }=2\pi \sqrt{\frac{L}{g^{\prime }}}=T_{\text{振り子}}\times \sqrt{\frac{g}{g^{\prime }}}=T_{\text{振り子}}\times \frac{2}{\sqrt{5}}\fallingdotseq 0.89\text{倍}$$

$$\fallingdotseq 2.0\times 0.89=1.8\mathrm{s}$$

短くなった。ばね振り子は $\frac{\pi }{2}\fallingdotseq 1.6\mathrm{s}$ のままである。

③ 自由落下したとき。 見かけの重力が $0$ になる。

• 単振り子 … 復元力そのものが消える。おもりを横にずらしても戻ってこない。振動しなくなる(糸が張っていれば、そのままの向きで浮いたままになる)
• ばね振り子 … ばねの力は変わらないので、同じ周期 $\frac{\pi }{2}$ で振動し続ける。ただし振動の中心は、ばねが自然長になる位置へ移る

④ ばね振り子が影響を受けない理由。 つり合いの位置を原点にとって考える。見かけの重力が $m{g}^{\prime }$ のとき、つり合いの伸びは $d=\frac{m{g}^{\prime }}{k}$ である。そこから $x$ だけ伸ばすと、ばねの力は $k(d+x)$、見かけの重力は $m{g}^{\prime }$ だから、合力は

$$-k(d+x)+m{g}^{\prime }=-kx$$

一定の力である $m{g}^{\prime }$ は、つり合いの伸び $d$ とちょうど打ち消し合って消える。 残るのは $-kx$ だけで、$g^{\prime }$ が入っていない。

したがって運動方程式は $ma=-kx$ となり、$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$ は見かけの重力によらない。一定の力は振動の中心をずらすだけで、周期を変えない のである。

まとめ 周期の式に $g$ が入っているかどうかで、加速の影響を受けるかが決まる。単振り子は $g^{\prime }$ が変わればそのまま変わり、ばね振り子は中心がずれるだけ。自由落下では、この違いが「止まる」と「振動し続ける」という劇的な差になって現れる。

発展 — 一歩先へ。 ③の性質から、無重量状態でも「ばね式の秤」なら質量を測れる ことが分かる。宇宙ステーションでは体重計が使えないが、ばねに人をつないで振動させ、その周期から $m=\frac{k{T}^2}{4{\pi }^2}$ として質量を出す装置が実際に使われている。

台ばかりが測っているのは重力に応じた「重さ」で、ばねの振動が測っているのは動かしにくさ、つまり「慣性質量」である。地上ではどちらも同じ値になるが、その一致は当たり前ではない。

別解

グラフの傾きで比べるルート。 復元力を変位の関数として描くと、2つの違いが一目で分かる。

ばね振り子では、合力は $F=-kx$ である。エレベーターが加速すると、一定の力 $ma$ が加わるので直線が上下に平行移動する。傾きは $-k$ のまま変わらず、$x$ 軸との交点(つり合いの位置)だけが動く。

単振り子では、復元力は $F=-\frac{m{g}^{\prime }}{L}x$ である。$g^{\prime }$ が変われば 直線の傾きそのものが変わる。

周期は「傾きの大きさ」で決まる(${\omega }^2$ が傾きを質量で割ったもの)。だから

• 平行移動しただけのばね振り子 … 周期は不変
• 傾きが変わった単振り子 … 周期も変わる

自由落下では単振り子の直線が水平になり、傾きが $0$、つまり復元力が消える。これが③の「振動しなくなる」である。

式を追わずに「傾きが変わるか、平行移動か」だけを見れば、どの場面でも即答できる。