ばねの上の 2 物体はどこで離れるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「離れる」という言葉を式に翻訳できるかどうかで決まる問題である。

接しているあいだ、小物体は台から垂直抗力 $N$ を受ける。面は押すことはできても引くことはできないから、離れる瞬間は $N=0$ である。

そして $N$ は、小物体だけの運動方程式から出る。小物体は一体の単振動の一部として動くので、加速度は位置で決まる。つまり「$N=0$ になる位置」は最初から一か所に決まっている。

① つり合いの位置。 台と小物体を合わせた重さをばねが支えている。自然長からの縮みを $x_0$ とすると

$$k{x}_0=(M+m)g⟹x_0=\frac{2.0\times 9.8}{196}=0.10\mathrm{m}$$

② 一体で動くあいだの単振動。 一体の質量は $M+m=2.0\mathrm{kg}$ だから

$${\omega }^2=\frac{k}{M+m}=\frac{196}{2.0}=98(1/{\mathrm{s}}^2)$$

つり合いの位置からの上向きの変位を $X$ とすると、単振動の加速度は $a=-{\omega }^{2}X$ である。

③ 離れる位置。 小物体だけを取り出して、上向きを正として運動方程式を書く。

$$N-mg=ma⟹N=m(g+a)$$

離れる瞬間は $N=0$、すなわち $a=-g$ である。$a=-{\omega }^{2}X$ と合わせると

$$X=\frac{g}{{\omega }^2}=\frac{9.8}{98}=0.10\mathrm{m}$$

つり合いの位置より $0.10\mathrm{m}$ 上である。ここで ① を思い出すと、その値はばねの縮み $x_0$ とぴったり同じである。

つまり離れるのは、ばねが自然長にもどった位置である。

④ 離れるための条件。 単振動は中心から振幅 $d$ の範囲しか動かない。上の端がこの位置に届かなければ、$N$ は $0$ にならない。

$$d\ge 0.10\mathrm{m}$$

⑤ 離れる瞬間の速さ。 $d=0.30\mathrm{m}$ が振幅である。振幅 $A$ の単振動で、中心から $X$ の位置の速さは $v=\omega \sqrt{A^2-X^2}$ だから

$$v=\sqrt{98}\times \sqrt{0.30^2-0.10^2}=\sqrt{98\times 0.08}=\sqrt{7.84}=2.8m/s$$

⑥ 離れたあと。 離れた瞬間から、小物体は初速 $2.8m/s$ の鉛直投げ上げになる。

$$h=\frac{v^2}{2g}=\frac{7.84}{19.6}=0.40\mathrm{m}$$

まとめ 接触している 2 物体は、垂直抗力が $0$ になったところで別れる。鉛直ばねの場合、その位置はいつでも「ばねが自然長にもどるところ」である。振幅がそこまで届くかどうかが、離れるかどうかの分かれ目になる。

発展 — 一歩先へ。 なぜ自然長のところなのかは、力くらべで見ると納得できる。ばねが縮んでいるあいだは台が押し上げられているので、一体の下向きの加速度は $g$ より小さい。自然長を超えてばねが伸びると、ばねは台を下へ引くので、台の下向きの加速度は $g$ を超える。小物体は自由落下でしか落ちられないから、そこから先は台に置いていかれる。板の上に物を乗せて、板だけを速く引き下げると物が浮くのと同じ理屈である。

別解

エネルギーで速さを出すルート。 $v=\omega \sqrt{A^2-X^2}$ を覚えていなくても、エネルギー保存だけで進める。

鉛直ばね振り子では、つり合いの位置を基準にすると便利な事実がある。ばねの弾性エネルギーと重力の位置エネルギーの和は、つり合いの位置からの変位 $X$ について

$$\frac{1}{2}k(x_0-X{)}^2+(M+m)gX=\frac{1}{2}k{x}_0^2+\frac{1}{2}k{X}^2$$

となり、$X$ の 1 次の項が消える。$k{x}_0=(M+m)g$ だからちょうど打ち消し合うのである。

つまり「重力のことは忘れて、つり合いの位置を中心に $\frac{1}{2}k{X}^2$ だけを考えればよい」。最下点($X=-0.30$)と離れる位置($X=0.10$)で書くと

$$\frac{1}{2}k(0.30{)}^2=\frac{1}{2}k(0.10{)}^2+\frac{1}{2}(M+m)v^2$$

$$v^2=\frac{k}{M+m}\left(0.30^2-0.10^2\right)=98\times 0.08=7.84$$

$v=2.8m/s$ となり同じ答えになる。鉛直ばねを「重力のない水平ばね」に読みかえられるのが、この見方の強みである。