物理 / 単振動

ばねの直列接続

★★ 標準ばね振り子合成ばね定数

問題

ばね定数 $10 N/m$ の同じばね 2 本を直列に(縦に一列に)つなぎ、質量 $0.20 kg$ の物体を付けて、なめらかな水平面上で振動させた。(1) 合成ばね定数 (2) 振動の周期をそれぞれ求めよ。 $π = 3.14$ とする。

同じばね 2 本を直列に(縦に一列に)つなぎ、物体を付ける

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直列では、力 F が 2 本のばねを「素通り」して両方に同じ F がかかる。それぞれの伸びは F/k で、全体の伸びはその和。全体の伸びと F の比から合成ばね定数を出そう。

解答・解説

直列では同じ力が両方のばねを通り、伸びが足し算になる。1/k合成=1/k₁+1/k₂ で 5.0 N/m。周期は 2π√(0.20/5.0)。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 直列では同じ力が両方に伝わり、伸びが足し算になる。「同じ力で伸びを足す」——並列(同じ伸びで力を足す)と役割が入れ替わる。

① 合成ばね定数。 力 $F$ のとき各ばねの伸びは $\frac{F}{10}$ ずつ、全体で

$x = \frac{F}{10} + \frac{F}{10} = \frac{F}{5.0} ⟹ k_{合成} = 5.0 N/m$

(公式で書けば $\frac{1}{k _{合成}} = \frac{1}{k _{1}} + \frac{1}{k _{2}}$ 。)

② 周期。

$T = 2 π \frac{0.20}{5.0} = 2 π 0.040 = 2 π \times 0.20 = 1.26 \approx 1.3 秒$

まとめ 直列=逆数の和(柔らかくなる)。長いばねは柔らかい(切って半分にすると硬くなる)という日常の感覚と合致する。並列 $0.63$ 秒 : 1本 $0.89$ 秒 : 直列 $1.26$ 秒——同じ部品でも、つなぎ方で周期が 2 倍変わる。

答

(1) $5.0 N/m$ (2) $1.3$ 秒( $1.26$ 秒)

「長いばね」として見るルート。 同じばね 2 本の直列は「2 倍の長さのばね」と同じで、同じ力での伸びが 2 倍=ばね定数は半分の $5.0 N/m$ 。

一般に、一様なばねを $n$ 等分すると各片の $k$ は $n$ 倍になる(逆に $n$ 本つなげば $1/ n$ )。ばね定数が「材質だけでなく長さで決まる」ことを教えてくれる見方である。