物理 / 単振動

水平ばね振り子の周期

★ 基礎ばね振り子

問題

ばね定数 $20 N/m$ の軽いばねの一端を壁に固定し、他端に質量 $0.20 kg$ の物体をつけて、なめらかな水平面上で振動させた。振動の周期を求めよ。 $π = 3.14$ とする。

壁につないだばねに物体をつけ、なめらかな水平面で振動させる

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ばねの力 −kx は b05 の復元力の形そのもの(K=k)。ω=√(k/m) を出してから T=2π/ω に直す。√(0.20/20)=√0.01 は暗算できる。

解答・解説

ばねの弾性力 F=−kx がそのまま復元力。ω=√(k/m)=10 rad/s、T=2π/ω。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ばねの弾性力 $F = - k x$ は復元力の見本である。よって物体は単振動し、 $K = k$ として $ω = k / m$ 、周期はその逆数系で書ける。

公式ばね振り子の周期

T = 2 π \frac{m}{k}

① 代入する。

$T = 2 π \frac{0.20}{20} = 2 π 0.010 = 2 π \times 0.10 = 0.628 \approx 0.63 秒$

まとめ 重いほどゆっくり( $m$ に比例)、硬いばねほど速い( $k$ に反比例)。そして振幅は式に入っていない——大きく引いても小さく引いても周期は同じ(等時性、b07)。 $0.010 = 0.10$ のように、の中を $1 0^{- 2}$ の形に整えると暗算で済む。

答

$T = 2 π \frac{m}{k} = 0.63$ 秒( $0.628$ 秒)

ω 経由で刻むルート。 $ω = \frac{k}{m} = \frac{20}{0.20} = 100 = 10 rad/s$ 。

$T = \frac{2 π}{ω} = \frac{6.28}{10} = 0.628 秒$

$m / k$ を先に作るか $k / m$ を先に作るか——逆数関係で迷いやすいので、「 $ω$ は硬さ/質量、 $T$ は質量/硬さ」とセットで覚えておくと安全である。