最大速度と最大加速度

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 単振動の速度・加速度の分布は、中心と端で役割が入れ替わるのが特徴である。影の見方(b02)と $a=-{\omega }^{2}x$ の式、どちらからも同じ結論が出る。

① 最大の速さ。

$$v_{max}=A\omega =0.20\times 4.0=0.80m/s$$

実現するのは振動の中心($x=0$)を通過する瞬間。

② 最大の加速度。

$$a_{max}=A{\omega }^2=0.20\times 4.0^2=3.2m/{\mathrm{s}}^2$$

実現するのは両端($x=\pm A$)。向きは常に中心向きである。

まとめ 「中心: 最速・加速度 0」「端: 停止・加速度最大」。ブランコで一番下を最速で通過し、両端で一瞬止まって強く引き戻される、あの感覚である。$v_{max}=A\omega$ と $a_{max}=A{\omega }^2$ は、円運動の $v=r\omega$、$a=r{\omega }^2$ の生き写しになっている。

別解

a=−ω²x から読むルート。 加速度は位置に比例($a=-{\omega }^{2}x$)だから、$|a|$ が最大なのは $|x|$ 最大の端で、$a_{max}={\omega }^{2}A$。中心($x=0$)では加速度 0——力がかからない場所こそ、速さを削るものがなく最速になる。

「加速度が 0 の点で速さが最大」という一見逆説的な関係は、等加速度運動の感覚との違いとして意識的に納得しておきたい。