物理 / 単振動

月面での単振り子

★ 基礎単振り子

問題

地球上で周期 $2.0$ 秒の単振り子を、重力加速度が地球の $\frac{1}{6}$ の月面に持っていくと、周期は約何秒になるか。 $6 = 2.45$ とする。

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周期の式のどこに g が入っているか。g が 1/6 になったとき、√ の中は何倍になり、周期は何倍になるかを順に追えばよい。

解答・解説

T=2π√(L/g) で g が 1/6 になると、周期は √6 倍。2.0×2.45=4.9 秒。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 同じ振り子を持っていくのだから $L$ は共通。変わるのは $g$ だけで、 $T = 2 π L / g$ は $g$ の平方根に反比例する。

① 比で計算する。

$\frac{T _{月}}{T _{地}} = \frac{g _{地}}{g _{月}} = 6 = 2.45$

$T_{月} = 2.0 \times 2.45 = 4.9 秒$

同じ振り子でも、重力の弱い月ではゆっくり振れる

まとめ 重力が弱いと引き戻しが弱く、のっそり振れる——月面の宇宙飛行士の動きがスローに見えるのと同じ世界である。逆にこの関係を使えば、振り子の周期から現地の $g$ を測定できる( $g = 4 π^{2} L / T^{2}$ )。振り子は最古の重力計でもある。

答

$2.0 \times 6 = 4.9$ 秒

数値を直接入れて確かめるルート。 地球で $T = 2.0$ 秒なら $L = \frac{g T ^{2}}{4 π ^{2}} = 0.99 m$ 。月面( $g /6 = 1.63 m/ s^{2}$ )では

$T = 2 π \frac{0.99}{1.63} = 2 π \times 0.779 = 4.9 秒$

比で 1 行のところを、実寸で組み立てても同じ答えになる。比の計算に自信がないときの検算路として持っておく。