物理 / 単振動

2つの振り子が再びそろうまで

★★★★ 難関単振り子周期位相

問題

長さの違う2つの単振り子 P と Q がある。周期はそれぞれ $T_{1} = 2.0 s$ 、 $T_{2} = 1.6 s$ である。重力加速度の大きさを $g = 9.8 m/ s^{2}$ 、円周率を $π = 3.14$ とする。

いま、2つを同じ側へ同じ角だけ持ち上げ、同時に静かに放す。

(1) それぞれの糸の長さを求めよ。また長さの比を最も簡単な整数の比で答えよ。

(2) 放してから、2つが再び同時に「放したときとまったく同じ状態」になるのはいつか。

(3) そのあいだに、それぞれ何往復するか。

(4) もし2つの周期が $2.00 s$ と $1.98 s$ だったら、(2) の時間はどれくらいになるか。

周期の違う2つの振り子を、同じ側へ同じ角だけ持ち上げて同時に放す

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「まったく同じ状態」とは、どちらも整数回の振動を終えたということである。周期の比を簡単な整数の比に直すと、何回ずつで揃うかがそのまま読める。

解答・解説

方針

同じ状態に戻るのは、どちらもちょうど整数回の振動を終えた瞬間である。つまり2つの周期の最小公倍数を探す。周期の比が簡単な整数比なら、その分子・分母がそのまま往復回数になる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「再び同じ状態になる」とは、どちらもちょうど整数回の振動を終えた瞬間 ということである。片方だけが整数回でも、もう片方が途中なら状態は違う。

だから探すのは、2つの周期の 最小公倍数 である。周期の比が簡単な整数の比になっていれば、その整数がそのまま往復回数になる。

(4) では比がほとんど $1$ に近くなる。すると揃うまでに非常に長い時間がかかる。うなり と同じ構造で、周期の差が小さいほど長く待つことになる。

① 長さと比。 $T = 2 π \frac{L}{g}$ を $L$ について解くと

$L = \frac{g T ^{2}}{4 π ^{2}}$

$L_{1} = \frac{9.8 \times 2. 0 ^{2}}{4 \times 3.1 4 ^{2}} = 0.99 m, L_{2} = \frac{9.8 \times 1. 6 ^{2}}{4 \times 3.1 4 ^{2}} = 0.64 m$

比は $L$ が $T^{2}$ に比例するので

$L_{1} : L_{2} = T_{1}^{2} : T_{2}^{2} = 2. 0^{2} : 1. 6^{2} = 4.0 : 2.56 = 25 : 16$

周期の比 $5 : 4$ の2乗 になっている。

② 再びそろう時刻。 周期の比が

$T_{1} : T_{2} = 2.0 : 1.6 = 5 : 4$

なので、 $4 T_{1} = 5 T_{2}$ が最小の一致になる。

$4 \times 2.0 = 8.0 s, 5 \times 1.6 = 8.0 s$

$8.0$ 秒後 である。

重要周期の比が

m : n

(既約)なら、

n T_{1} = m T_{2}

で初めてそろう。**比の分母と分子が、そのまま往復回数になる**

③ 往復回数。

$\frac{8.0}{2.0} = 4 往復, \frac{8.0}{1.6} = 5 往復$

横軸は時間(秒)。P が4往復、Q が5往復したところで初めて2つの山がそろう

長いほうが4往復、短いほうが5往復して、ちょうど元の並びに戻る。

④ 周期が近いとき。 $T_{1} = 2.00$ 、 $T_{2} = 1.98$ とする。比は $\frac{2.00}{1.98} = \frac{100}{99}$ で、既約分数の分母と分子が大きい。 $99 T_{1} = 100 T_{2}$ が最小の一致で

$99 \times 2.00 = 198 s$

約 $198$ 秒、3分半ほど かかる。一般には、位相の差が $1$ 往復ぶん( $2 π$ )開くまでの時間として

$\frac{T _{1} T _{2}}{∣ T _{1} - T _{2} ∣} = \frac{2.00 \times 1.98}{0.02} = 198 s$

と書ける。周期の差が小さいほど分母が小さくなり、長く待つことになる。

まとめ そろう時刻は周期の最小公倍数。比が簡単なら早く、比が $1$ に近いほど長くかかる。 $\frac{T _{1} T _{2}}{∣ T _{1} - T _{2} ∣}$ という形は、うなりの周期とまったく同じである。

発展 — 一歩先へ。 長さを少しずつ変えた振り子をたくさん並べて同時に放すと、はじめはばらばらに見え、しばらくすると波が進むような模様が現れ、やがて全部がそろう。振り子の波(ペンデュラム・ウェーブ)と呼ばれる実験である。

たとえば「1分間に $51, 52, \dots, 65$ 回振動する」ように長さを選ぶと、 $60$ 秒ごとに全部がそろう。見た目の模様は、周期そのものではなく周期の差 が作っている。

答

(1) $0.99 m$ と $0.64 m$ 、長さの比 $25 : 16$ (2) $8.0 s$ 後 (3) P が4往復、Q が5往復 (4) 約 $198 s$ (約3分半)

別解

位相で追いかけるルート。 「何往復したか」ではなく「位相がどれだけ進んだか」で考えると、(4) のような近い周期の場合まで一気に扱える。

角振動数はそれぞれ $ω_{1} = \frac{2 π}{T _{1}}$ 、 $ω_{2} = \frac{2 π}{T _{2}}$ である。時刻 $t$ での位相の差は

$(ω_{2} - ω_{1}) t$

2つが同じ状態に戻るのは、この差がちょうど $2 π$ の整数倍になったときである。最小の時刻は

$t = \frac{2 π}{ω _{2} - ω _{1}} = \frac{2 π}{\frac{2 π}{T _{2}} - \frac{2 π}{T _{1}}} = \frac{T _{1} T _{2}}{T _{1} - T _{2}}$

②に当てはめると

$t = \frac{2.0 \times 1.6}{0.4} = 8.0 s$

④なら

$t = \frac{2.00 \times 1.98}{0.02} = 198 s$

1本の式で両方が出る。 最小公倍数を探すルートは比が簡単なときに速いが、比が $\frac{100}{99}$ のように複雑になると数えるのが大変になる。位相で追うルートなら、比の形によらず同じ計算で済む。

なお、この式は音のうなりの周期とまったく同じ形をしている。振動数の差が小さいほど、うなりの周期は長くなる。

ポイント

「同じ状態に戻る」= どちらも整数回の振動を終えた瞬間 = 周期の最小公倍数
周期の比が $m : n$ なら、往復回数もそのまま $n$ 回と $m$ 回
そろう時刻は $\frac{T _{1} T _{2}}{∣ T _{1} - T _{2} ∣}$ 。周期が近いほど長くかかる(うなりと同型)

よくある間違い

長さの比を周期の比と同じ $5 : 4$ としてしまう。長さは周期の2乗に比例するので $25 : 16$
片方が整数回になった時刻を答えてしまう。両方が同時に整数回でなければ元に戻らない
周期が近いほど早くそろうと考えてしまう。差が小さいほど位相がそろうのに時間がかかる