物理 / 単振動

ばねの並列接続

★★ 標準ばね振り子合成ばね定数

問題

ばね定数 $10 N/m$ の同じばね 2 本を並列に(横に並べて)つなぎ、質量 $0.20 kg$ の物体を付けて、なめらかな水平面上で振動させた。(1) 合成ばね定数 (2) 振動の周期をそれぞれ求めよ。 $π = 3.14$ とする。

同じばね 2 本を並列に(横に並べて)つなぎ、物体を付ける

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物体を x 引くと、2 本のばねがそれぞれ kx の力で引き戻す。合計の力は? そこから「1 本のばねとみなしたときのばね定数」を読み取ろう。

解答・解説

並列では同じ変位 x に対して 2 本が同時に力を出すので、合成 k=k₁+k₂=20 N/m。周期は T=2π√(m/k)。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 合成ばね定数は「同じ変位 $x$ に対して合計でどれだけの力が出るか」で決める。並列では 2 本が同じだけ伸び、力を出し合う。

① 合成ばね定数。 変位 $x$ のとき、各ばねが $10 x$ ずつ、合計

$F = 10 x + 10 x = 20 x ⟹ k_{合成} = k_{1} + k_{2} = 20 N/m$

② 周期。

$T = 2 π \frac{0.20}{20} = 2 π \times 0.10 = 0.628 \approx 0.63 秒$

まとめ 並列=足し算(硬くなる)。抵抗の直列・並列と公式の形が逆になるので、丸暗記ではなく「同じ伸びで力を足すのが並列」という理屈ごと覚えること。硬くなったぶん、1 本のとき( $k = 10$ 、 $T = 0.89$ 秒)より周期は短い。

答

(1) $20 N/m$ (2) $0.63$ 秒

極端な場合で検算するルート。 もし同じばねを 100 本並列にすれば、明らかにガチガチに硬くなる—— $k_{合成} = 100 k$ で納得できる。並列=硬い=足し算、の向きを極端化で確認する習慣は、直列(次問)との混同を防ぐ最良のワクチンである。