水に浮かぶ物体の振動

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) ばねがなくても単振動になるかどうかは、復元力の形で決まる。つり合いから $x$ 沈めると、排水量が $Sx$ 増え、浮力が $\rho Sgx$ だけ増える。この増加分が押し戻す力になる:

$$F=-\rho Sgx$$

これは $F=-Kx$ の形で、$K=\rho Sg$ の「水のばね」である。

① K を計算する。

$$K=\rho Sg=1.0\times 10^3\times 1.0\times 10^{-2}\times 9.8=98N/m$$

② 周期。

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}=2\pi \sqrt{\frac{0.98}{98}}=2\pi \sqrt{0.010}=2\pi \times 0.10=0.628\approx 0.63秒$$

まとめ釣りの浮きがぷかぷかと一定のリズムで揺れるのは、この「水のばね」の単振動である。復元力が $-(定数)\times x$ の形に書ければ、ばねでなくても $T=2\pi \sqrt{m/K}$ となる。復元力の規則をばね以外の場面で初めて使う問題である。

別解

浮きすぎ側でも確かめるルート。 逆に $x$ 引き上げると排水量が $Sx$ 減り、浮力が $\rho Sgx$ 不足して沈む向きの合力になる。どちらにずれても、つり合い位置へ戻す向きに $\rho Sgx$ の力がはたらく。復元力の条件(両側で中心向き)が確かに成り立っている。

片側だけ見て安心せず、両側で復元になっていることを確かめる。単振動と認めるときは、この確認が必要である。