位置・速度・加速度の位相関係

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 単振動の 1 周期は「中心→正の端→中心→負の端→中心」の 4 等分で把握できる。$t=0$ に中心を正の向きに出たなら、$1/4$ 周期後はちょうど正の端である。

① 位置と速さ。 $t=0.50$ 秒=$T/4$ で

$$x=+A=+0.20\mathrm{m}(正の端),速さ=0(折り返し)$$

② 加速度。 端は $|x|$ 最大の場所だから、$a=-{\omega }^{2}x$ より加速度の大きさは最大。

$$|a{|}_{max}=A{\omega }^2=0.20\times {\left(\frac{2\pi }{2.0}\right)}^2=0.20\times 9.87=2.0m/{\mathrm{s}}^2(負=中心向き)$$

まとめ 式で書けば $x=A\sin \omega t$、$v=A\omega \cos \omega t$、$a=-A{\omega }^2\sin \omega t$。$v$ は $x$ より $1/4$ 周期先行し、$a$ は $x$ と正反対(半周期ずれ)。「位置が最大のとき速度 0・加速度最大(逆向き)」の 3 点セットが、グラフでも式でも同じ結論を指す。

別解

グラフを重ねて読むルート。 $x$-$t$ が $\sin$ 型なら、$v$-$t$ は $\cos$ 型(山が $1/4$ 周期早い)、$a$-$t$ は $-\sin$ 型($x$ の上下反転)。

$t=T/4$ の縦線を 3 本のグラフに引くと、$x$: 山、$v$: 0、$a$: 谷——①②の答えが一目で読める。3 本のグラフを縦に並べて描く習慣は、単振動の位相問題の最強の武器である。