U字管内の液体の振動

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 復元力の正体は「高くなった側の余分な液柱の重さ」。注意点は 2 つ——高低差は $x$ ではなく $2x$、動く質量は液体全体である。

① 復元力。 片側が $x$ 下がると反対側は $x$ 上がるので、液面の高低差は $2x$。この差の分の液柱(体積 $S\cdot 2x$)の重さが全体を押し戻す:

$$F=-\rho S\cdot 2x\cdot g=-2\rho Sgx$$

② 運動方程式。 動くのは液体全体、質量 $m=\rho SL$:

$$\rho SLa=-2\rho Sgx⟹a=-\frac{2g}{L}x$$

$\rho$ も $S$ も約分で消える——周期は液体の種類にも管の太さにもよらない。

③ 周期。 ${\omega }^2=\frac{2g}{L}$ だから

$$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{2g}}=2\pi \sqrt{\frac{4.9}{19.6}}=2\pi \sqrt{0.25}=2\pi \times 0.50=\pi \approx 3.1秒$$

まとめ 結果は長さ $\frac{L}{2}$ の単振り子と同じ周期である($T=2\pi \sqrt{(L/2)/g}$ と読める)。「高低差 $2x$」と「全体の質量」——2 つの罠を式が自動的に処理してくれるのは、a01 の手続き(運動方程式→係数比較)を機械的に踏んだからである。有名問題なので、$2x$ の由来まで説明できるようにしておきたい。

別解

エネルギーで係数を確かめるルート。 液面が $x$ ずれた状態は、「高さ $x$ の液柱(質量 $\rho Sx$)を、低い側から高い側へ平均 $x$ だけ持ち上げた」状態とみなせる。位置エネルギーの増加は

$$U=\rho Sx\cdot g\cdot x=\rho Sg{x}^2$$

これを $U=\frac{1}{2}K{x}^2$ と見比べると $K=2\rho Sg$——①の復元力の係数と一致する ✓。エネルギー経由でも同じ $K$ が出ることが、「差は $2x$」の裏の検算になっている。