物理 / 単振動

加速度と変位の関係(a=−ω²x)

★ 基礎単振動

問題

角振動数 $4.0 rad/s$ の単振動をする物体が、振動の中心から $0.10 m$ の位置にあるとき、加速度の大きさと向きを求めよ。

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単振動の加速度は、変位に比例し向きが逆(a=−ω²x)。この式こそが単振動の定義でもある。大きさと向きを分けて答えよう。

解答・解説

単振動の定義式 a=−ω²x に代入。負号は「変位と逆向き=常に中心向き」を表す。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 単振動を式で定義するなら、それは

公式

a = - ω^{2} x

(加速度は変位に比例し、常に振動の中心向き)

である。中心から離れるほど強く引き戻される——この「距離比例の引き戻し」が単振動の心臓部になる。

① 大きさを計算する。

$∣ a ∣ = ω^{2} ∣ x ∣ = 4. 0^{2} \times 0.10 = 1.6 m/ s^{2}$

② 向き。 負号の意味どおり、変位と逆向き=振動の中心向き。

変位に比例した加速度が常に中心を向く(a=−ω²x)

まとめ 逆に、ある運動で $a = - (正の定数) \times x$ の形が示せたら、その運動は必ず単振動で、 $ω = 定数$ と即断できる。この「形を見て単振動と見抜く」技が、ばね(b06)・振り子(b10)から浮力・トンネル(応用)まで、単元全体を貫く背骨である。

答

$1.6 m/ s^{2}$ 、振動の中心向き

円運動の向心加速度の影として見るルート。 もとの円運動の向心加速度は大きさ $A ω^{2}$ で中心向き。影に映るのはその壁方向成分で、物体が中心から $x$ の位置にいるときの成分がちょうど $ω^{2} x$ になる(相似な三角形)。

負号(中心向き)も、向心加速度が円の中心を向くことの射影として自然に出る。公式と幾何の二重取りで覚えておくと忘れない。