振動する台に物体を乗せる — 中心か、端か

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「物体を乗せる」という 1 つの操作でも、いつ乗せるかで結果が変わる。まず、変わる量を切り分けて考える。

周期は質量だけで決まるので、いつ乗せても同じだけ長くなる。

変わり方が違うのは振幅とエネルギーである。カギは「乗せた瞬間、台と物体の速度がそろっているか」である。そろっていなければすべりが起き、摩擦が熱を出す。そろっていれば何も失われない。

① 乗せる前。 角振動数は

$$\omega =\sqrt{\frac{k}{M}}=\sqrt{\frac{100}{1.0}}=10rad/s$$

$$T=\frac{2\pi }{\omega }\approx 0.63\mathrm{s},v_{\max }=A\omega =0.20\times 10=2.0m/s$$

$$E=\frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}\times 100\times 0.04=2.0\mathrm{J}$$

② 中心で乗せる。 乗せた瞬間、台は $2.0m/s$、物体は $0$ である。速度がそろっていないので、そろうまでのあいだ、たがいの面ですべりが起きる。

このごく短いあいだ、ばねの力は有限なので与える力積は無視できる。よって水平方向の運動量が保存する。

$$M{v}_{\max }=(M+m)v^{\prime }⟹v^{\prime }=\frac{1.0\times 2.0}{2.0}=1.0m/s$$

乗せたあとの角振動数と周期は

$${\omega }^{\prime }=\sqrt{\frac{k}{M+m}}=\sqrt{50}\approx 7.1rad/s,T^{\prime }=\frac{2\pi }{{\omega }^{\prime }}\approx 0.89\mathrm{s}$$

乗せた場所は振動の中心だから、そこが新しい振動でも中心である。中心での速さが $v^{\prime }$ だから

$$A^{\prime }=\frac{v^{\prime }}{{\omega }^{\prime }}=\frac{1.0}{\sqrt{50}}\approx 0.14\mathrm{m}$$

$$E^{\prime }=\frac{1}{2}(M+m)v^{\prime 2}=\frac{1}{2}\times 2.0\times 1.0^2=1.0\mathrm{J}$$

エネルギーはちょうど半分になった。

③ 端で乗せる。 端では台の速度が $0$ である。物体の速度も $0$ だから、速度は最初からそろっている。すべりは起きない。

$${\omega }^{\prime }=\sqrt{50},T^{\prime }\approx 0.89\mathrm{s}$$

位置は端のままで速度も $0$ だから、そこは新しい振動でも端である。

$$A^{\prime }=0.20\mathrm{m}(\text{変わらない}),E^{\prime }=\frac{1}{2}k{A}^{\prime 2}=2.0\mathrm{J}(\text{変わらない})$$

最大の速さは

$$v_{\max }^{\prime }=A^{\prime }{\omega }^{\prime }=0.20\times \sqrt{50}\approx 1.4m/s$$

④ 差が出る理由。 中心で乗せたときだけ、乗せた瞬間に台と物体の速度が違う。そのすべりを止めるのは面どうしの摩擦で、そのあいだに $2.0-1.0=1.0\mathrm{J}$ が熱になる。

端で乗せたときは相対速度が $0$ なので、すべりも摩擦の仕事も生じない。だからエネルギーは減らない。

まとめ 質量が増えれば周期は必ず長くなる。しかし振幅とエネルギーは、乗せた瞬間の相対速度で決まる。「いつ乗せるか」がそのまま「いくら失うか」になる。

発展 — 一歩先へ。 合体で失われるエネルギーは、換算質量 $\mu =\frac{Mm}{M+m}$ を使って $\frac{1}{2}\mu v_{\text{相対}}^2$ と書ける。

中心では $\mu =0.50\mathrm{kg}$、相対速度 $2.0m/s$ だから $\frac{1}{2}\times 0.50\times 4=1.0\mathrm{J}$ となり、④ の値と一致する。端では相対速度が $0$ なので損失も $0$ である。

「失われるのは相対運動のエネルギーだけ」という見方は、合体・非弾性衝突のすべてに通じる。

別解

振幅を「点の位置」で見るルート。 単振動では、位置 $x$ と $\frac{v}{\omega }$ の 2 つを組にした点を考えると、振幅がその点の原点からの距離になる。

$$A=\sqrt{x^2+{\left(\frac{v}{\omega }\right)}^2}$$

振動しているあいだ、この点は原点を中心とする円の上をぐるぐる回る。円の半径が振幅である。

この見方で 2 つの場合を並べる。

中心で乗せたときは $x=0$ のままで、速さが半分の $1.0$ になり、さらに $\omega$ が $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる。$\frac{v}{\omega }$ は $\frac{1.0}{\sqrt{50}}\approx 0.14$ となり、これがそのまま新しい振幅である。

端で乗せたときは $v=0$ のままで $x=0.20$ だから、$\omega$ が変わっても点の位置は動かない。振幅は $0.20\mathrm{m}$ のままである。

「振幅は $x$ と $v/\omega$ の 2 成分でできている」と見ておくと、どちらの成分に手を加えたのかで結果が即座に分かる。