物理 / 単振動

単振動の式の読み取り

★★ 標準単振動式の読み取り

問題

ある物体の位置が、時刻 $t$ [s] を用いて $x = 0.40 sin (2 π t)$ [m] と表される。(1) 振幅 (2) 周期 (3) 速さの最大値をそれぞれ求めよ。 $π = 3.14$ とする。

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与えられた式を教科書の標準形 x=Asin(ωt) と重ね合わせ、どの数がどの記号に対応するかを読み取る。sin の中の係数が ω である。

解答・解説

x=Asin(ωt) と見比べて A=0.40、ω=2π を読む。T=2π/ω=1.0 s、vmax=Aω。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 式で与えられた単振動は、標準形 $x = A sin ω t$ との照合がすべてである。係数を読み分ければ、あとは換算式に流し込むだけになる。

① 振幅。 $sin$ の前の係数がそのまま

$A = 0.40 m$

② 周期。 $sin$ の中の係数が $ω = 2 π rad/s$ だから

$T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{2 π} = 1.0 秒$

③ 最大の速さ。

$v_{ma x} = A ω = 0.40 \times 2 π = 0.8 π = 2.51 \approx 2.5 m/s$

x=0.40sin(2πt)。1 秒で 1 往復する

まとめ $ω = 2 π$ は「1 秒で位相が 1 周」つまり $T = 1.0$ 秒、 $f = 1.0 Hz$ を意味する。式→グラフ→数値の三点セットを行き来できるようになると、単振動の問題は入口で迷わなくなる。

答

(1) $0.40 m$ (2) $1.0$ 秒 (3) $v_{ma x} = A ω = 0.8 π \approx 2.5 m/s$

微分で確かめるルート(数III 既習者向け)。 $v = \frac{d x}{d t} = 0.40 \times 2 π cos (2 π t)$ 。 $cos$ の最大値は 1 だから $v_{ma x} = 0.8 π \approx 2.5 m/s$ 。

$v_{ma x} = A ω$ という公式は、この微分の結果を覚えやすくまとめたものである。加速度も一回微分して $a_{ma x} = A ω^{2} = 0.4 \times 4 π^{2} \approx 16 m/ s^{2}$ と続けられる。