物理 / 単振動

等時性(周期は振幅によらない)

★ 基礎ばね振り子等時性

問題

ばね定数 $20 N/m$ の軽いばねに質量 $0.20 kg$ の物体をつけた水平ばね振り子(周期 $0.63$ 秒)について、引いて放す長さ(振幅)を $0.10 m$ から $0.20 m$ に変えた。(1) 周期はどうなるか。 (2) 最大の速さはどうなるか。それぞれ理由とともに答えよ。

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周期の式と最大速さの式を並べて、それぞれに振幅 A が入っているかを見るだけ。なぜ道のりが 2 倍なのに時間が同じでいられるのか、も一言考えてみよう。

解答・解説

T=2π√(m/k) は A を含まない=等時性。vmax=Aω は A に比例する。「遠くから引くほど道のりは長いが速さも上がり、ちょうど相殺」が等時性の中身。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2 つの式を並べて、振幅 $A$ が入っているかどうかを見るのが全てである。

$T = 2 π \frac{m}{k} (A なし), v_{ma x} = A ω (A あり)$

① 周期。 式に $A$ が含まれないから、振幅を変えても周期は $0.63$ 秒のまま変わらない。これを単振動の等時性という。

② 最大の速さ。 $v_{ma x} = A ω$ は $A$ に比例するから 2 倍になる( $ω = 10$ のまま、 $1.0 \to 2.0 m/s$ )。

振幅が違っても山の位置(周期)は同じ——等時性

まとめ 遠くから放すと道のりは 2 倍になるが、復元力も 2 倍強くなって速さが 2 倍に上がり、所要時間はちょうど相殺される——これが等時性のからくりである。ガリレイが振り子で発見したこの性質が、振り子時計から水晶時計まで「時間を刻む装置」の原理になった。

答

(1) 変わらない( $0.63$ 秒のまま)。周期の式に振幅が入らないから (2) $2$ 倍になる( $v_{ma x} = A ω$ で $A$ に比例)

円運動の影で納得するルート。 振幅 2 倍の単振動は「半径 2 倍の円運動の影」。円が大きくなっても角速度 ω が同じなら 1 周の時間は同じ——影の往復時間(周期)も同じである。

一方、円周の速さ $r ω$ は半径に比例して 2 倍。影の最大速さもそのまま 2 倍になる。円の絵ひとつで (1)(2) が同時に見える。