平面内の運動 — 放物運動・相対速度

人が東へ $30\mathrm{m}$ 歩き、続けて北へ $40\mathrm{m}$ 歩いた。移動全体に $10$ 秒かかった。(1) 変位の大きさ (2) 平均の速度の大きさ (3) 平均の速さ をそれぞれ求めよ。

東向きに $6.0m/s$ で動いていた物体が、$2.0$ 秒後には北向きに $8.0m/s$ で動いていた。この間の (1) 速度の変化 $\Delta \vec{v}$ の大きさ (2) 平均の加速度の大きさ をそれぞれ求めよ。

高さ $19.6\mathrm{m}$ の崖の上から、水平に速さ $14.7m/s$ で小球を投げ出した。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。(1) 地面に達するまでの時間 (2) 落下点までの水平距離 をそれぞれ求めよ。

高さ $19.6\mathrm{m}$ の崖の上から、水平に速さ $14.7m/s$ で小球を投げ出した。地面に達する直前の速さを求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

地面から、水平とのなす角 $30°$ の向きに速さ $20m/s$ で小球を投げ出した。初速度の水平成分と鉛直成分をそれぞれ求めよ。$\sqrt{3}=1.73$ とする。

初速度の水平成分が $14.7m/s$、鉛直成分が $19.6m/s$ となるように小球を投げ出した。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。(1) 最高点に達するまでの時間 (2) 最高点の高さ をそれぞれ求めよ。

初速度の水平成分が $14.7m/s$、鉛直成分が $19.6m/s$ となるように、地面から小球を投げ出した。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。(1) 地面に戻ってくるまでの時間 (2) 落下点までの水平距離 をそれぞれ求めよ。

地面から、水平とのなす角 $45°$ の向きに速さ $14m/s$ で小球を投げ出した。落下点までの水平距離を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$\sqrt{2}=1.41$ とする。

初速度の鉛直成分 $19.6m/s$ で小球を投げ上げた(滞空時間は $4.0$ 秒)。投げてから $1.0$ 秒後と $3.0$ 秒後の高さをそれぞれ求め、比較せよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

雨が鉛直に速さ $10m/s$ で降っている。水平に速さ $10m/s$ で走る電車の中から見ると、雨は鉛直からどれだけ傾いて見えるか。また、見かけの雨の速さを求めよ。$\sqrt{2}=1.41$ とする。

川幅 $60\mathrm{m}$、流れの速さ $2.0m/s$ の川を、静水上で $1.5m/s$ で泳げる人が、岸に対して垂直な向きに泳ぎ続けて渡る。(1) 対岸に着くまでの時間 (2) その間に下流へ流される距離 (3) 岸から見た泳ぐ速さ をそれぞれ求めよ。

同じ高さ $4.9\mathrm{m}$ から同時に、小球 A を静かに落とし(自由落下)、小球 B を水平に $10m/s$ で投げ出した。(1) A、B が地面に達するまでの時間をそれぞれ求めよ。(2) 先に着地するのはどちらか。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

原点から水平に速さ $v_0=7.0m/s$ で小球を投げ出した。水平方向に $x$ 軸、鉛直下向きに $y$ 軸をとる。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。(1) 時間 $t$ を用いずに、軌道の式($y$ を $x$ で表した式)を導け。(2) $x=7.0\mathrm{m}$ の位置での落下量 $y$ を求めよ。

高さ $44.1\mathrm{m}$ の崖の上から、水平に速さ $20m/s$ で小球を投げ出した。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。(1) 落下時間 (2) 崖の下端から落下点までの水平距離 (3) 着地直前の速度の鉛直成分 をそれぞれ求めよ。

地面から、水平とのなす角 $30°$ の向きに速さ $19.6m/s$ で小球を投げ出した。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$\sqrt{3}=1.73$ とする。(1) 滞空時間 (2) 水平到達距離 をそれぞれ求めよ。

地面から、水平とのなす角 $30°$ の向きに速さ $19.6m/s$ で小球を投げ出した。$\sqrt{3}=1.73$ とする。(1) 最高点での小球の速さ (2) 最高点での加速度の大きさと向き をそれぞれ答えよ。

高さ $14.7\mathrm{m}$ のビルの屋上から、初速度の水平成分 $10m/s$、鉛直成分(上向き)$9.8m/s$ で小球を投げ出した。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。(1) 地面に達するまでの時間 (2) ビルの真下の点から落下点までの水平距離 (3) 地面から測った最高点の高さ をそれぞれ求めよ。

地面から斜めに投げ上げた小球が、投げてから $1.0$ 秒後と $5.0$ 秒後に同じ高さを通過した。初速度の鉛直成分を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

水平に速さ $14m/s$ で走る電車の窓から見ると、鉛直に降っている雨が、鉛直から $45°$ 傾いて降っているように見えた。地面に対する雨の速さを求めよ。

川幅 $48\mathrm{m}$、流れの速さ $1.2m/s$ の川を、静水上で $2.0m/s$ で泳げる人が、岸に対して垂直に(流されずに)渡りたい。(1) 泳ぐ向きを、上流側に傾ける角 $\theta$ について $\sin \theta$ の値で答えよ。(2) 岸から見た泳ぐ速さ (3) 渡り切るまでの時間 をそれぞれ求めよ。

川幅 $48\mathrm{m}$、流れの速さ $1.2m/s$ の川を、静水上で $2.0m/s$ で泳げる人が渡る。(1) 岸に垂直な向きに泳ぎ続けるとき、渡り切るまでの時間と、下流に流される距離を求めよ。(2) 最短の時間で渡りたいときは、どちらの作戦(垂直に泳ぐ/上流に傾けて泳ぐ)をとるべきか。理由とともに答えよ。

船 A は東向きに $20m/s$、船 B は北向きに $15m/s$ で進んでいる。B から見た A の相対速度の大きさを求めよ。

高度 $122.5\mathrm{m}$ を水平に速さ $50m/s$ で等速飛行する飛行機から、物資を静かに(飛行機に対して初速 $0$ で)落とした。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。(1) 物資が地面に達するまでの時間 (2) 投下点の真下から着地点までの水平距離 (3) 着地の瞬間、飛行機はどこにいるか。

水平とのなす角 $45°$ の斜面の上端の点 O から、水平に速さ $9.8m/s$ で小球を投げ出した。小球は斜面に沿って離れ、やがて斜面上の点 P に落ちた。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。(1) 投げてから P に達するまでの時間 (2) O から P までの水平距離 を求めよ。

地面から、水平とのなす角 $\theta$ の向きに速さ $v_0$ で小球を投げ出す。重力加速度の大きさを $g$ とする。(1) 滞空時間 $T$ を $v_0$、$\theta$、$g$ で表せ。(2) 水平到達距離 $R$ を $v_0$、$\theta$、$g$ で表せ。(3) $v_0$ が一定のとき、$R$ が最大になる $\theta$ を求めよ。

水平距離 $40\mathrm{m}$、高さ $30\mathrm{m}$ の位置にある的をねらって、地上の点から的の方向に速さ $25m/s$ で弾を発射する。発射と同時に、的は自由落下を始める。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。(1) 弾の初速度の水平成分と鉛直成分を求めよ。(2) 弾が的の真下・真上の鉛直線(水平距離 $40\mathrm{m}$ の位置)に達する時刻を求めよ。(3) その時刻の弾の高さと的の高さを計算し、弾が的に命中することを確かめよ。

地面から速さ $v_0$、水平とのなす角 $\theta$($0°<\theta <90°$)で小球を投げ上げたところ、最高点での速さが $\frac{v_0}{2}$ になった。(1) $\theta$ を求めよ。(2) このとき、最高点の高さ $h$ と水平到達距離 $R$ の比 $h:R$ を求めよ。

地面から速さ $19.6m/s$ で、水平とのなす角 $30°$ と $60°$ の 2 通りで小球を投げ出す。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$\sqrt{3}=1.73$ とする。(1) それぞれの水平到達距離を求め、比較せよ。(2) それぞれの滞空時間を求め、その比を答えよ。

川幅 $60\mathrm{m}$、流れの速さ $2.5m/s$ の川を、静水上で $1.5m/s$ で泳げる人が渡る。流れの速さが泳ぐ速さより大きいため、流されずに渡ることはできない。(1) 上流に向けて角度をつけても垂直に渡れないことを、速度の成分を用いて説明せよ。(2) 下流に流される距離を最小にするように泳ぐとき、その最小距離を求めよ。ただし、泳ぐ向きを上流方向から測った角 $\alpha$ とすると、流され距離が最小になるのは $\cos \alpha =\frac{泳ぐ速さ}{流れの速さ}$ のときであることを用いてよい。

高さ $19.6\mathrm{m}$ の崖の上から、水平に速さ $v_0$ で小球を投げ出す。投げ出すと同時に、崖の真下の地点から、小球と同じ向きにトラックが $5.0m/s$ の一定の速さで走り出した。小球がトラックの荷台(高さは無視する)にちょうど落ちるための $v_0$ を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

地面から速さ $v_0$、水平とのなす角 $\theta$ で小球を投げ上げたところ、水平到達距離 $R$ と最高点の高さ $h$ が等しくなった。$\tan \theta$ の値を求めよ。

地面の点 O から小球を投げ出し、投げてから $1.0$ 秒後に、O から水平距離 $19.6\mathrm{m}$、高さ $14.7\mathrm{m}$ の点 P を通過させたい。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$\sqrt{2}=1.41$ とする。(1) 初速度の水平成分と鉛直成分を求めよ。(2) 初速度の大きさと、水平とのなす角を求めよ。

天井の高さが $3.6\mathrm{m}$ の体育館の中で、床の高さから速さ $14m/s$ でボールを投げる。投げ出しの角は自由に選べる。空気の抵抗は無視し、ボールは点とみなす。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 天井がないとき、最も遠くへ届く投げ出しの角と、そのときの水平到達距離を求めよ。

(2) その投げ方をすると、ボールは天井に当たってしまうか。最高点の高さを求めて判断せよ。

(3) 天井に当たらない範囲で最も遠くへ投げるとき、投げ出しの角の $\sin$ と水平到達距離を求めよ。

(4) 天井の高さがいくら以上あれば、(1) の投げ方をそのまま使えるか。

水平な地面から、水平と $\theta$ の角をなす向きに速さ $v_0=19.6m/s$ でボールを投げ上げる。$\sin \theta =0.80$、$\cos \theta =0.60$ とし、空気の抵抗は無視する。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 投げてから地面に落ちるまでの時間を求めよ。

(2) 飛んでいる途中で、速度の向きが投げ出したときの向きと垂直になる瞬間がある。その時刻を求めよ。

(3) そのときの速さを求めよ。

(4) 投げ出しの角が $45^{\circ }$ より小さいと、この瞬間は空中では起こらない。その理由を示せ。

水平から $\alpha$ だけ下に傾いた長い斜面がある。$\sin \alpha =0.60$、$\cos \alpha =0.80$ とする。斜面上の点 P から、斜面に垂直な向き に速さ $v_0=9.8m/s$ で小球を投げ出した。空気の抵抗は無視し、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 斜面に沿う向きと斜面に垂直な向きに分けたとき、初速と重力加速度の成分をそれぞれ書け。

(2) 小球が再び斜面に達するまでの時間を求めよ。

(3) その落下点は P から斜面に沿って何 m 離れているか。

(4) 飛んでいるあいだに、小球が斜面から最も離れる距離を求めよ。

まっすぐな水平の道を、トラックが一定の速さ $7.35m/s$ で走っている。荷台に立った人が、ボールを 荷台から見て真上 に速さ $9.8m/s$ で投げ上げた。空気の抵抗は無視し、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) ボールが投げた高さに戻るまでの時間と、上がった高さを求めよ。

(2) 地上に立って見ている人には、ボールはどんな速さ・どんな向きに投げ出されたように見えるか。また、そのあいだにボールは水平にどれだけ進むか。

(3) ボールは投げた人の手に戻るか。理由とともに答えよ。

(4) 同じことを、トラックが一定の加速度 $2.0m/{\mathrm{s}}^2$ で加速しながら走っているときに行った。ボールは投げた人からどれだけ離れた場所に落ちるか。また、手に戻すには荷台から見てどの向きに投げればよいか。

幅 $40\mathrm{m}$ のまっすぐな川がある。流れの速さは岸で $0$、中央で最も速く $3.0m/s$ で、岸から中央までは距離に比例して増え、中央から向こう岸までは同じ割合で減る。

人は水に対して、つねに岸に垂直な向きに速さ $2.0m/s$ で泳ぐ。

(1) 向こう岸に着くまでの時間を求めよ。

(2) 向こう岸に着いたとき、真向かいの点からどれだけ下流にずれているか。

(3) もし流れがどこでも $3.0m/s$ で一様だったら、(2) はどうなるか。

(4) 川のちょうど中央に達した時点で、すでに流された距離はいくらか。

地面の点 O からボールを投げたところ、水平距離 $2.0\mathrm{m}$ の地点では高さ $1.8\mathrm{m}$、水平距離 $12\mathrm{m}$ の地点では高さ $4.8\mathrm{m}$ を通過した。時刻は測っていない。空気の抵抗は無視し、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 軌道が $y=Ax-B{x}^2$ の形に書けることを示し、$A$ と $B$ の値を求めよ。

(2) 投げ出しの角と初速の大きさを求めよ。

(3) O から着地点までの水平距離を求めよ。

(4) 最高点の水平距離と高さを求めよ。

静水では速さ $5.0m/s$ で進むボートがある。川はまっすぐで、流れの速さはどこでも $3.0m/s$、川幅は $120\mathrm{m}$ である。

次の2つのコースを、いずれもボートの速さを最大にして往復する。

• コース A: 岸に沿って上流へ $120\mathrm{m}$ 進み、出発点へ戻る。
• コース B: 真向かいの岸へ $120\mathrm{m}$ 渡り、出発点へ戻る。

(1) コース A の往復にかかる時間を求めよ。

(2) コース B の往復にかかる時間を求めよ。

(3) 流れがまったくないとき、往復にかかる時間を求めよ。

(4) 一般に、静水での速さを $v$、流れの速さを $u$($u<v$)、片道の距離を $D$ として、A と B の往復時間を表せ。また、どちらも流れがないときより長くなることを示せ。

速さ $14m/s$ でボールを投げる。空気の抵抗は無視し、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。必要なら $\sin 80^{\circ }=0.985$、$\sin 70^{\circ }=0.940$、$\sin 60^{\circ }=0.866$、$\sin 50^{\circ }=0.766$ を用いよ。

(1) $45^{\circ }$ で投げたときの水平到達距離を求めよ。

(2) $40^{\circ }$ と $50^{\circ }$ で投げたときの水平到達距離をそれぞれ求めよ。

(3) $25^{\circ }$、$30^{\circ }$、$35^{\circ }$ で投げたときの水平到達距離をそれぞれ求め、$30^{\circ }$ から $5^{\circ }$ ずれたときの変化を、$45^{\circ }$ から $5^{\circ }$ ずれたときの変化と比べよ。

(4) $45^{\circ }$ から $\Delta$ だけずれた角で投げたときの水平到達距離が $R_{\max }\cos 2\Delta$ と書けることを示し、$45^{\circ }$ の付近でずれの影響が小さい理由を説明せよ。

原点から初速の大きさ $v_0=14m/s$ で、鉛直面内のあらゆる向きにボールを投げられるとする。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、空気抵抗は無視する。

投射角を $\theta$ とすると、軌道は

$$y=x\tan \theta -\frac{g{x}^2}{2v_0^2{\cos }^2\theta }$$

と書ける。

(1) $\frac{1}{{\cos }^2\theta }=1+{\tan }^2\theta$ を使い、上の式を $\tan \theta$ についての $2$ 次方程式に整理せよ。

(2) 点 $(x,y)$ に届く投射角が存在する条件を、判別式から求めよ。

(3) (2) の等号が成り立つ点の集合(境界)は放物線になる。その式を求め、真上に投げたときの最高点と、水平な地面での最大射程が境界上にあることを確かめよ。

(4) 点 $(10,5)$ と点 $(10,9)$ は、それぞれ届くか届かないか。

水平から角 $\alpha =30^{\circ }$ で上る斜面がある。斜面の下端から、初速の大きさ $v_0=14m/s$ で、鉛直面内に角 $\theta$(水平から測る)でボールを投げる。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 斜面に落ちるまでの、斜面に沿った距離 $R$ を $v_0,g,\theta ,\alpha$ で表せ。

(2) 積和の公式 $2\cos A\sin B=\sin (A+B)-\sin (A-B)$ を使って $R$ を変形し、$R$ が最大になる $\theta$ を求めよ。

(3) (2) の $\theta$ は、斜面の向きと鉛直の向きのなす角をどう分けているか。

(4) 最大の $R$ を求めよ。また $\alpha =0$ のときに、よく知られた結果が再現されることを確かめよ。

水平な地面から初速の大きさ $v_0=19.6m/s$ でボールを投げ、$19.6\mathrm{m}$ 先の点に落としたい。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 射程の式 $R=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}$ から、条件を満たす投射角をすべて求めよ。

(2) $2$ つの角のあいだにはどんな関係があるか。一般に成り立つ関係を示せ。

(3) それぞれの滞空時間を求め、$2$ つの積が $\frac{2R}{g}$ になることを確かめよ。

(4) それぞれの最高点の高さを求め、その和が $\frac{v_0^2}{2g}$ になることを示せ。

地面の点 A から、高さ $18\mathrm{m}$・水平距離 $24\mathrm{m}$ の位置にある点 B に、小球 P がある。A から小球 Q を初速の大きさ $25m/s$ で投げると同時に、P を静かに落とす。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) P から見た Q の相対加速度を求めよ。

(2) (1) から、P から見た Q はどんな運動をするか答えよ。

(3) Q を B の向きに投げると P に当たる。当たるまでの時間を求めよ。

(4) 当たる位置の高さを求めよ。また、Q が地面に落ちる前に当たることを確かめよ。

水平な地面の上で、強い風によってボールに水平方向の一定の加速度 $a=7.35m/{\mathrm{s}}^2$(風下向き)が加わるとする。重力加速度は $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ である。初速の大きさは $v_0=14m/s$ とする。

(1) $2$ つの加速度を合成した「見かけの重力」の大きさと、鉛直からの傾きを求めよ。${\tan }^{-1}0.75=36.9^{\circ }$ とする。

(2) $45^{\circ }$ で風下に投げたときと、風上に投げたときの落下点を求めよ(地面は水平)。

(3) 風下への飛距離が最大になる投射角を求めよ。ヒント: 「見かけの上向き」と「地面の向き」を二等分する向きである。

(4) そのときの飛距離を求め、風がないときの最大射程と比べよ。

高さ $h=14.7\mathrm{m}$ の崖の上から、初速の大きさ $v_0=9.8m/s$ でボールを投げる。崖の下は水平な地面である。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 投射角を $\theta$ とし、地面に落ちるまでの時間を $v_0,\theta ,g,h$ で表せ。

(2) 着地の速さは $\theta$ によらないことを、エネルギーの考え方で示せ。値も求めよ。

(3) 水平到達距離を最大にする角は $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2+\frac{2gh}{v_0^2}}}$ で与えられる。値を求めよ。${\tan }^{-1}0.5=26.6^{\circ }$ とする。

(4) そのときの水平到達距離を求め、$45^{\circ }$ で投げた場合($17.9\mathrm{m}$)と比べよ。

海上に船 A と船 B がいる。ある時刻に、B は A の真東 $500\mathrm{m}$ の位置にいる。A は東へ $20m/s$、B は北へ $15m/s$ で、どちらも一定の速度で進む。

(1) A から見た B の相対速度を、東向き・北向きの成分で表し、大きさを求めよ。

(2) A から見た B の運動を図示するとどうなるか。言葉で説明せよ。

(3) $2$ 隻がもっとも近づくのは何秒後か。

(4) そのときの距離を求めよ。また、この結果を「垂線の長さ」として求める方法も示せ。

質量 $2m$ の花火が、水平方向の速度 $10m/s$、鉛直方向の速度 $19.6m/s$ で打ち上げられた。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、空気抵抗は無視する。

(1) 最高点に達する時刻と、そのときの高さ・水平距離を求めよ。

(2) 分裂しなければ、どこに落ちるか。

(3) 最高点でちょうど質量 $m$ ずつの $2$ つに分裂し、一方の速度が $0$ になった(その場から真下に落ちた)。他方の速度を求め、$2$ つの破片の落下地点を求めよ。

(4) $2$ つの落下地点の中点が (2) の落下点に一致することを確かめ、その理由を述べよ。