場所によって流れの速さが違う川を渡る

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 泳ぐ人の速度は、岸に垂直な向きの $2.0m/s$ と、流れによる下流向きの速度の合成である。この2つは互いに直角で、片方は他方に何の影響も与えない。

だから川を横切る進み方は流れとまったく関係なく、渡る時間はすぐ決まる。

問題は流される距離のほうである。流速が場所によって違い、人は動いているので、流速は時間とともに変わる。速さが変わるときの距離は、平均の速さを使うか、速さと時間のグラフの面積を読むかのどちらかで求まる。

① 渡る時間。 岸に垂直な向きの速さはどこにいても $2.0m/s$ である。

$$t=\frac{40}{2.0}=20\mathrm{s}$$

流れがどうであろうと、渡る時間はこれで決まる。

② 流された距離。 出発してから $t$ 秒後、岸からの距離は $y=2.0t$ である。前半($t\le 10$、$y\le 20$)の流速は、岸からの距離に比例するから

$$u=3.0\times \frac{y}{20}=3.0\times \frac{2.0t}{20}=0.30t$$

後半は同じ割合で減るので $u=0.30(20-t)$ である。つまり流速は時間とともに $0$ から $3.0$ まで増え、また $0$ まで戻る。流速と時間のグラフは三角形になる。流された距離はこの面積である。

$$x=\frac{1}{2}\times 20\times 3.0=30\mathrm{m}$$

平均の流速で考えても同じである。$0$ から $3.0$ まで一定の割合で増えて戻るのだから、平均は $1.5m/s$ で

$$x=1.5\times 20=30\mathrm{m}$$

③ 一様な流れなら。 どこでも $3.0m/s$ なら、グラフは高さ $3.0$ の長方形になる。

$$x=3.0\times 20=60\mathrm{m}$$

三角形は長方形のちょうど半分だから、実際の川では流される距離は半分ですむ。岸の近くで流れが遅いぶんが影響している。

④ 中央に達したときまで。 中央に着くのは $t=10\mathrm{s}$ である。それまでの面積は、底辺 $10$・高さ $3.0$ の三角形だから

$$x=\frac{1}{2}\times 10\times 3.0=15\mathrm{m}$$

全体 $30\mathrm{m}$ のちょうど半分である。後半も同じ $15\mathrm{m}$ 流される。行きは「だんだん速く」、帰りは「だんだん遅く」で、足し合わせるとつり合う。

まとめ直角に分けられる運動は別々に扱う。変化する速さの距離は平均かグラフの面積で読む。この2つを組み合わせると、流れが場所によって違っても手が届く。

発展。 実際の川の流速は、岸で $0$、中央で最大という点は同じだが、分布は三角形より放物線に近い。中央の速さを $u_0$ として

$$u=u_0\left(1-{\left(\frac{2y}{W}-1\right)}^2\right)$$

と書けるとき、平均は最大の $\frac{2}{3}$ になる。同じ条件で流される距離は $2.0\times 20=40\mathrm{m}$ で、三角形の $30\mathrm{m}$ と一様な $60\mathrm{m}$ のあいだに収まる。

流速の分布の形がそのまま流される距離の係数になる。 三角形なら $\frac{1}{2}$、放物線なら $\frac{2}{3}$、一様なら $1$ である。

別解

細かく刻んで足し上げるルート。 グラフの面積や平均を持ち出さず、素朴に足していっても同じ答えにたどり着く。渡る $20\mathrm{s}$ を $2$ 秒ずつ $10$ 区間に分ける。各区間の真ん中の時刻での流速を代表の値として使う。

前半($t\le 10$)の流速は $u=0.30t$ だから、$t=1,3,5,7,9$ での値は

$$0.3,0.9,1.5,2.1,2.7[m/s]$$

後半は同じ値が逆順に並ぶ。それぞれ $2$ 秒ずつ流されるので

$$x=2\times [(0.3+0.9+1.5+2.1+2.7)\times 2]=2\times (7.5\times 2)=30\mathrm{m}$$

同じ $30\mathrm{m}$ になった。並んだ数が等差数列なので、和は「(最初 $+$ 最後)$\times$ 個数 $÷2$」で暗算できる。

刻みを細かくしても答えは変わらない。等しい割合で増える速さは、平均の速さで置きかえてよいということが、この足し算から見て取れる。三角形の面積の公式はこの足し算の結論に名前を付けたものにすぎない。

グラフの面積を思いつかなかったときも、この方法なら必ず前に進める。