場所によって流れの速さが違う川を渡る

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 泳ぐ人の速度は、岸に垂直な向きの $2.0m/s$ と、流れによる下流向きの速度の合成である。この2つは互いに直角で、片方は他方に何の影響も与えない。

だから川を横切る進み方は流れとまったく関係なく、渡る時間はすぐ決まる。

問題は流される距離のほうである。流速が場所によって違い、人は動いているので、流速は時間とともに変わる 。速さが変わるときの距離は、平均の速さを使うか、速さと時間のグラフの面積を読むかのどちらかで求まる。

① 渡る時間。 岸に垂直な向きの速さは、どこにいても $2.0m/s$ である。

$$t=\frac{40}{2.0}=20\mathrm{s}$$

流れがどうであろうと、渡る時間はこれで決まる。

② 流された距離。 出発してから $t$ 秒後、岸からの距離は $y=2.0t$ である。前半($t\le 10$、$y\le 20$)の流速は、岸からの距離に比例するから

$$u=3.0\times \frac{y}{20}=3.0\times \frac{2.0t}{20}=0.30t$$

後半は同じ割合で減るので $u=0.30(20-t)$ である。

つまり流速は、時間とともに $0$ から $3.0$ まで増え、また $0$ まで戻る。流速と時間のグラフは三角形 になる。

流された距離はこの面積である。

$$x=\frac{1}{2}\times 20\times 3.0=30\mathrm{m}$$

平均の流速で考えても同じである。$0$ から $3.0$ まで一定の割合で増えて戻るのだから、平均は $1.5m/s$ で

$$x=1.5\times 20=30\mathrm{m}$$

③ 一様な流れなら。 どこでも $3.0m/s$ なら、グラフは高さ $3.0$ の長方形になる。

$$x=3.0\times 20=60\mathrm{m}$$

三角形は長方形のちょうど半分だから、実際の川では 流される距離は半分ですむ 。岸の近くで流れが遅いぶんが効いている。

④ 中央に達したときまで。 中央に着くのは $t=10\mathrm{s}$ である。それまでの面積は、底辺 $10$・高さ $3.0$ の三角形だから

$$x=\frac{1}{2}\times 10\times 3.0=15\mathrm{m}$$

全体 $30\mathrm{m}$ のちょうど半分である。後半も同じ $15\mathrm{m}$ 流される。行きは「だんだん速く」、帰りは「だんだん遅く」で、足し合わせるとつり合う。

まとめ 直角に分けられる運動は別々に扱う。変化する速さの距離は、平均かグラフの面積で読む。この2つを組み合わせると、流れが場所によって違っても手が届く。

発展 — 一歩先へ。 実際の川の流速は、岸で $0$、中央で最大という点は同じだが、分布は三角形より放物線に近い。中央の速さを $u_0$ として

$$u=u_0\left(1-{\left(\frac{2y}{W}-1\right)}^2\right)$$

と書けるとき、平均は最大の $\frac{2}{3}$ になる。同じ条件で流される距離は $2.0\times 20=40\mathrm{m}$ で、三角形の $30\mathrm{m}$ と一様な $60\mathrm{m}$ のあいだに収まる。

流速の分布の形が、そのまま流される距離の係数になる。 三角形なら $\frac{1}{2}$、放物線なら $\frac{2}{3}$、一様なら $1$ である。

別解

細かく刻んで足し上げるルート。 グラフの面積や平均を持ち出さず、素朴に足していっても同じ答えにたどり着く。

渡る $20\mathrm{s}$ を $2$ 秒ずつ $10$ 区間に分ける。各区間の真ん中の時刻での流速を代表の値として使う。

前半($t\le 10$)の流速は $u=0.30t$ だから、$t=1,3,5,7,9$ での値は

$$0.3,0.9,1.5,2.1,2.7[m/s]$$

後半は同じ値が逆順に並ぶ。それぞれ $2$ 秒ずつ流されるので

$$x=2\times [(0.3+0.9+1.5+2.1+2.7)\times 2]=2\times (7.5\times 2)=30\mathrm{m}$$

同じ $30\mathrm{m}$ になった。並んだ数が等差数列なので、和は「(最初 $+$ 最後)$\times$ 個数 $÷2$」で暗算できる。

刻みを細かくしても答えは変わらない。等しい割合で増える速さは、平均の速さで置きかえてよい ということが、この足し算から見て取れる。三角形の面積の公式は、この足し算の結論に名前を付けたものにすぎない。

グラフの面積を思いつかなかったときも、この方法なら必ず前に進める。