投げる角がずれると、飛距離はどれだけ変わるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $45^{\circ }$ が最も遠くへ飛ぶことは知っている。ここで聞かれているのは、そこから外れたときにどれだけ損をするか である。

到達距離は $R=\frac{v_0^2}{g}\sin 2\theta$ で、角は $\sin$ の中に $2\theta$ の形で入っている。$\theta =45^{\circ }$ は $2\theta =90^{\circ }$、つまり $\sin$ がちょうど山の頂上 にあたる。

山の頂上では、少し左右にずれても高さはほとんど変わらない。逆に山の斜面では、同じだけずれると高さははっきり変わる。ここを数値で確かめるのがこの問題である。

① 基準の距離。 $\frac{v_0^2}{g}=\frac{196}{9.8}=20\mathrm{m}$ である。$\theta =45^{\circ }$ では $\sin 90^{\circ }=1$ だから

$$R_{\max }=20\mathrm{m}$$

② $45^{\circ }$ から $5^{\circ }$ ずれる。 $\theta =40^{\circ }$ なら $2\theta =80^{\circ }$、$\theta =50^{\circ }$ なら $2\theta =100^{\circ }$ である。$\sin 100^{\circ }=\sin 80^{\circ }$ だから、2つはまったく同じ距離 になる。

$$R=20\times 0.985=19.7\mathrm{m}$$

減ったのは $0.3\mathrm{m}$、率にして $1.5\%$ にすぎない。

③ $30^{\circ }$ の付近では。 それぞれ $2\theta$ を計算して表を引く。

$$R(25^{\circ })=20\times \sin 50^{\circ }=20\times 0.766=15.3\mathrm{m}$$

$$R(30^{\circ })=20\times \sin 60^{\circ }=20\times 0.866=17.3\mathrm{m}$$

$$R(35^{\circ })=20\times \sin 70^{\circ }=20\times 0.940=18.8\mathrm{m}$$

$30^{\circ }$ を中心に見ると、上へ $5^{\circ }$ ずれると $+1.5\mathrm{m}$、下へ $5^{\circ }$ ずれると $-2.0\mathrm{m}$ である。変化が大きく、しかも上下で大きさが違う。

$45^{\circ }$ の付近では、どちらへずれても $-0.3\mathrm{m}$ でそろっていた。同じ $5^{\circ }$ でも、頂上の近くと斜面の途中とでは、影響がまるで違う。

④ 理由。 $\theta =45^{\circ }+\Delta$ とおく。

$$2\theta =90^{\circ }+2\Delta$$

$$R=R_{\max }\sin (90^{\circ }+2\Delta )=R_{\max }\cos 2\Delta$$

$\cos$ は偶関数だから、$\Delta$ の符号によらない。これが②の対称性の理由である。

さらに $\Delta$ が小さいとき、$\cos$ は $1$ から2乗の速さでしか離れない。

$$\cos 2\Delta \fallingdotseq 1-\frac{(2\Delta {)}^2}{2}=1-2{\Delta }^2$$

$\Delta =5^{\circ }=0.0873\mathrm{rad}$ を入れると

$$2{\Delta }^2=2\times 0.0873^2=0.0152=1.5\%$$

②の $1.5\%$ と一致する。ずれが1次では効かず、2次でしか効かない。 これが「頂上の近くは平ら」ということの中身である。

$30^{\circ }$ の付近ではそうはならない。頂上から離れた場所では $\sin$ の傾きが $0$ ではないので、ずれが1次でそのまま効いてくる 。

まとめ 最大値の近くでは、量は変数のずれの2乗でしか変わらない。だから 最大にする条件を狙うと、多少外しても結果が保たれる。 逆に言えば、最大の近くでは測定から最適値を読み取りにくい。この2面性は、物理の実験でくり返し現れる。

発展 — 一歩先へ。 「最大の近くでは1次の変化が消える」という性質は、投射に限らない。角度を精密に合わせなくてよい装置、位置がずれても性能が落ちない設計は、どれもこの性質を使っている。

実際の球技ではさらに空気の抵抗が効くので、最も遠くへ飛ぶ角は $45^{\circ }$ より小さくなる。それでも「最適の近くは平ら」という事情は変わらないので、選手がわずかに角を外しても飛距離はあまり落ちない。ちょうど狙うのが難しい量ほど、最適の近くが平らであることが助けになる。

別解

表を作って差を見るルート。 式の変形をせずに、数値を並べて差を取るだけでも、同じ結論にたどり着く。

$R=20\sin 2\theta$ に角を入れて、$5^{\circ }$ おきに並べる。

差の列を上から下へ見ると、$+2.0,+1.5,+0.9,+0.3,-0.3$ と、だんだん小さくなって $45^{\circ }$ で符号が変わる 。差が $0$ に近づくところが頂上で、そこでは角を変えても距離がほとんど動かない。

差の列そのものが「傾き」であり、それが $0$ になるのが最大の条件である。式で微分をしなくても、表を作れば同じことが目に見える。最大の近くでは差が小さくなる という事実は、この表を眺めるだけで納得できる。