物理 / 平面内の運動

最高点での速度と加速度

★★ 標準斜方投射最高点加速度

問題

地面から、水平とのなす角 $30°$ の向きに速さ $19.6 m/s$ で小球を投げ出した。 $3 = 1.73$ とする。(1) 最高点での小球の速さ (2) 最高点での加速度の大きさと向きをそれぞれ答えよ。

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(1) 最高点で 0 になるのは速度の何成分か。(2) 空中にある間、小球にはたらく力は何か。力が決まれば加速度も決まる。「一瞬止まる」イメージに引きずられないこと。

解答・解説

最高点では鉛直速度が 0 になり、水平成分 v₀cos30° だけが残る。加速度は重力によるものだけで、軌道上のどこでも 9.8 m/s² 下向き。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 最高点は「鉛直速度が $0$ 」の瞬間であって、静止する瞬間ではない。また加速度は力から決まる。空中では重力しかはたらかないから、加速度は場所によらず一定のはずである。

① 最高点の速さ。 鉛直成分は $0$ 、水平成分はずっと変わらず

$v = v_{x} = 19.6 cos 30° = 9.8 3 = 17.0 m/s$

向きは水平方向。

② 加速度。 空中の小球にはたらく力は重力だけ。よって

$a = g = 9.8 m/ s^{2} (鉛直下向き)$

これは最高点に限らず、上昇中でも下降中でも同じである。

最高点でも速度(水平)は残り、加速度はどこでも g 下向き

まとめ 「最高点で速度 $0$ ・加速度 $0$ 」はどちらも誤り。速度は水平成分が残り、加速度は常に $g$ 下向き。速度(どう動いているか)と加速度(どう変わろうとしているか)は別の量、という区別がこの単元の核心である。

答

(1) $17.0 m/s$ (水平方向) (2) $9.8 m/ s^{2}$ 、鉛直下向き(運動中どこでも同じ)

速度ベクトルの変化で加速度を見るルート。 軌道上の各点で速度ベクトルを描くと、矢印は「右上向き → 水平 → 右下向き」となめらかに回る。この変化 $Δ v$ はどの区間で見ても鉛直下向きで、1 秒あたり $9.8 m/s$ ずつ。

つまり加速度は常に鉛直下向きに $9.8 m/ s^{2}$ 。b02 の「 $Δ v$ から加速度を作る」見方が、放物運動でもそのまま生きている。