物理 / 平面内の運動

同じ高さを通る 2 つの時刻から初速を求める

★★ 標準斜方投射対称性

問題

地面から斜めに投げ上げた小球が、投げてから $1.0$ 秒後と $5.0$ 秒後に同じ高さを通過した。初速度の鉛直成分を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

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b09 の対称性を逆向きに使う。同じ高さの 2 時刻の「ちょうど真ん中」の時刻に何が起きているかを考えると、初速はすぐそこにある。

解答・解説

同じ高さを通る 2 時刻は最高点をはさんで対称なので、最高点の時刻は (1.0+5.0)/2=3.0 秒。v₀y=g×3.0。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 放物運動は最高点をはさんで対称だから、同じ高さを通る 2 つの時刻の中点が、最高点の時刻である。最高点の時刻がわかれば、 $v_{0 y} = g t_{頂}$ で初速の鉛直成分が出る。

① 最高点の時刻。

$t_{頂} = \frac{1.0 + 5.0}{2} = 3.0 秒$

② 初速の鉛直成分。 最高点で鉛直速度が $0$ になるから

$v_{0 y} = g t_{頂} = 9.8 \times 3.0 = 29.4 m/s$

③ 検算。 $y = 29.4 t - 4.9 t^{2}$ に代入すると、 $t = 1.0$ で $24.5 m$ 、 $t = 5.0$ で $147 - 122.5 = 24.5 m$ 。確かに同じ高さである。

同じ高さの 2 時刻の中点 t=3.0 s が最高点。v₀y=9.8×3.0

まとめ 対称性を使うと 2 次方程式を解かずに済む。「同じ高さの 2 時刻 → 平均が最高点」は、式で導くなら $y (t_{1}) = y (t_{2})$ を整理して $t_{1} + t_{2} = \frac{2 v _{0 y}}{g}$ となることに対応している。

答

$29.4 m/s$ ( $\approx 29 m/s$ )

式で正面から解くルート。 $y (1.0) = y (5.0)$ を立てると

$v_{0 y} \times 1.0 - 4.9 \times 1. 0^{2} = v_{0 y} \times 5.0 - 4.9 \times 5. 0^{2}$

$- 4.0 v_{0 y} = 4.9 - 122.5 = - 117.6 ⟹ v_{0 y} = 29.4 m/s$

対称性に気づかなくても、条件をそのまま式にすれば解ける。ただし計算量の差は歴然なので、対称性の見方は身につけておく価値がある。