物理 / 平面内の運動

川渡り(真っ直ぐ対岸に渡る)

★★ 標準相対速度川渡り

問題

川幅 $48 m$ 、流れの速さ $1.2 m/s$ の川を、静水上で $2.0 m/s$ で泳げる人が、岸に対して垂直に(流されずに)渡りたい。(1) 泳ぐ向きを、上流側に傾ける角 $θ$ について $sin θ$ の値で答えよ。(2) 岸から見た泳ぐ速さ (3) 渡り切るまでの時間をそれぞれ求めよ。

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「流されない」を式にすると、泳ぎの速度のうち上流向きの成分が流速とちょうど打ち消し合う、ということ。斜辺 2.0 の直角三角形で、上流向きの辺が 1.2 になるように角度を決めよう。

解答・解説

方針

流されないためには、泳ぎの上流向き成分が流速 1.2 を打ち消せばよい。sinθ=1.2/2.0。残りの垂直成分 √(2.0²−1.2²)=1.6 が対岸へ向かう速さになる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 垂直に渡るには、流れに運ばれる分を、あらかじめ上流へ向かう泳ぎで打ち消す必要がある。泳ぎの速度(大きさ $2.0$ )を「上流向き成分」と「対岸向き成分」に分解し、上流向き成分 $= 1.2$ という条件を課す。

① 角度の条件。 上流へ角 $θ$ だけ傾けて泳ぐと、上流向き成分は $2.0 sin θ$ 。これが流速と等しいから

$2.0 sin θ = 1.2 ⟹ sin θ = 0.60 (θ \approx 37°)$

② 岸から見た速さ。 流れと打ち消し合った残り、対岸向き成分だけが実際の移動になる。

$v = 2. 0^{2} - 1. 2^{2} = 4.0 - 1.44 = 2.56 = 1.6 m/s$

③ 渡る時間。

$t = \frac{48}{1.6} = 30 秒$

上流へ θ(sinθ=0.60)傾けて泳ぐと流れが打ち消され、垂直に 1.6 m/s で進む

まとめ $1.2 : 1.6 : 2.0 = 3 : 4 : 5$ である。b11(垂直に泳いで流される)と本問(斜めに泳いで垂直に進む)は、同じ三角形を別の向きから読んだ関係にある。どちらの「垂直」なのかを図で確かめてから式を立てること。

答

(1) $sin θ = 0.60$ (上流へ約 $37°$ ) (2) $1.6 m/s$ (3) $30$ 秒

別解

ベクトルの和を図で閉じるルート。 岸から見た速度=泳ぎの速度+流れの速度。この和が「対岸向き」になるように三角形を閉じると、斜辺が泳ぎ $2.0$ 、水平の辺が流れ $1.2$ 、垂直の辺が岸から見た速さ、という直角三角形が現れる。

三平方で垂直辺は $1.6$ 。図を先に完成させてしまえば、(1)〜(3) は三角形の辺の読み取りだけで済む。

ポイント

上流成分で流れを打ち消す(2.0sinθ=1.2)
対岸向きの実速度は √(泳²−流²)
b11 と同じ三角形の別読み(3:4:5)

よくある間違い

cosθ=1.2/2.0 と余弦にする(打ち消すのは上流「向き」成分)
渡る時間を 48/2.0=24 秒とする(対岸向きは 1.6)
b11 と混同して「流される距離」を計算し始める