流れが速い川を渡る(最小の流され距離)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 流れ $2.5$ に対し泳ぎは $1.5$ しかない。上流向き成分は全力でも $1.5$ で、$2.5$ を打ち消せない——これが (1) の答えの骨格である。それでも泳ぐ向きの工夫で「どれだけ流されるか」は変えられる。与えられた最適条件 $\cos \alpha =0.60$ を使って数値を詰める。

① 垂直に渡れない理由。 泳ぎの上流向き成分は $1.5\cos \alpha \le 1.5m/s$。流速 $2.5m/s$ より必ず小さいので、下流向きの正味速度

$$v_{下流}=2.5-1.5\cos \alpha >0$$

が常に残る。よってどの向きに泳いでも必ず流される。

② 最適角での各成分。 $\cos \alpha =\frac{1.5}{2.5}=0.60$ より $\sin \alpha =0.80$($3:4:5$)。

• 対岸向き成分: $1.5\sin \alpha =1.5\times 0.80=1.2m/s$
• 下流の正味速度: $2.5-1.5\times 0.60=2.5-0.90=1.6m/s$

③ 流され距離。 渡る時間は $t=\frac{60}{1.2}=50$ 秒。その間に流される距離は

$$x=1.6\times 50=80\mathrm{m}$$

まとめ 泳ぎが遅い側の最適戦略は「流れに一部だけ逆らい、残りで渡り切る」。最小流下距離は一般に $x_{min}=\frac{W\sqrt{v_f^2-v_s^2}}{v_s}$($W$: 川幅、$v_f$: 流速、$v_s$: 泳速)となり、本問は $\frac{60\times 2.0}{1.5}=80\mathrm{m}$ でも確かめられる。

別解

幾何(速度図)で見るルート(得意な人向け)。 岸から見た速度は、「流速ベクトル $2.5$(下流向き)の先端に、長さ $1.5$ の泳ぎベクトルを好きな向きに付けた」合成で決まる。つまり合成速度の先端は、半径 $1.5$ の円周上を動く。

流され距離が最小になるのは、出発点から見た合成速度の向きが最も上流寄りに傾くとき=合成速度がこの円に接するときである。接線条件から $\cos \alpha =\frac{1.5}{2.5}$ が導かれる(問題で与えた条件の由来)。接するときの直角三角形は $1.5:2.0:2.5$ で、以降の数値は本解と同じになる。