2 隻の船はどこまで近づくか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 隻とも動いているので、そのまま距離の式を書くと時間の $2$ 次式になる。それでも解けるが、見通しが悪い。

相対速度をとると、A を止めて考えられる。すると B は等速直線運動をするだけである。

止まっている点と、直線上を動く点。もっとも近づく距離は、点から直線への垂線の長さである。図形の問題になった。

① 相対速度。 東向きを $x$、北向きを $y$ とする。

$${\vec{v}}_{\mathrm{A}}=(20,0),{\vec{v}}_{\mathrm{B}}=(0,15)$$

A から見た B の相対速度は

$${\vec{v}}_{\mathrm{B}}-{\vec{v}}_{\mathrm{A}}=(-20,15)$$

$$\left|\vec{v}\right|=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25m/s$$

($3:4:5$ の直角三角形である。)

② 相対運動の様子。 加速度がないので、A から見た B は $(500,0)$ を出発し、北西の向きに $25m/s$ で等速直線運動する。

つまり A は原点に静止していて、B が斜めの直線上を通り過ぎていく、という絵になる。

③ 最接近の時刻。 相対位置は

$$\vec{r}(t)=(500-20t,15t)$$

距離の $2$ 乗を書く。

$$d^2={\left(500-20t\right)}^2+{\left(15t\right)}^2=625t^2-20000t+250000$$

$t$ の $2$ 次関数で下に凸である。平方完成する。

$$d^2=625{\left(t-16\right)}^2+250000-625\times 256=625{\left(t-16\right)}^2+90000$$

$$t=16\mathrm{s}$$

④ 最接近距離。

$$d_{\min }=\sqrt{90000}=3.0\times 10^2\mathrm{m}$$

念のため位置でも確かめる。$t=16$ のとき

$$\vec{r}=(500-320,240)=(180,240)$$

$$\left|\vec{r}\right|=\sqrt{32400+57600}=\sqrt{90000}=300\mathrm{m}✓$$

($180:240:300=3:4:5$ である。)

垂線として求める方法。 A(原点)から、B の通る直線への距離を求めればよい。

直線は点 $(500,0)$ を通り、方向ベクトルが $(-20,15)$ である。原点からの距離は、外積の形で書ける。

$$d=\frac{\left|500\times 15-0\times (-20)\right|}{25}=\frac{7500}{25}=300\mathrm{m}✓$$

計算が $1$ 行で済む。

まとめ 相対速度で片方を止めれば、$2$ 物体の接近は「点と直線の距離」になる。$2$ 次関数の最小でも解けるが、垂線として見るほうが速い。

発展 — 一歩先へ。 船や航空機の衝突回避では、この「最接近距離」と「最接近までの時間」が最重要の指標である。レーダー画面では、相手の相対速度ベクトルを表示し、その延長線が自分にどれだけ近づくかを見る。

$d_{\min }=0$ になるのは、相対速度が相対位置と平行なときである。このとき相手は見かけ上まったく動かず、方位が変わらないまま大きくなってくる。海上衝突予防法に「コンパス方位に明確な変化が認められない場合、衝突のおそれがあると判断しなければならない」とあるのは、この事実そのものである。

同じ考えは分子どうしの衝突(衝突断面積)にも使われる。相対速度に垂直な断面のうち、$d_{\min }$ が分子の直径より小さくなる範囲が、衝突する的の大きさになる。

別解

速度をそのまま扱い、内積で最小を出すルート。 ベクトルの記法を使うと、平方完成をせずに時刻が出せる。

相対位置は

$$\vec{r}(t)={\vec{r}}_0+\vec{v}t$$

距離の $2$ 乗は内積で書ける。

$$d^2={\left|{\vec{r}}_0+\vec{v}t\right|}^2={\left|{\vec{r}}_0\right|}^2+2\left({\vec{r}}_0\cdot \vec{v}\right)t+{\left|\vec{v}\right|}^2{t}^2$$

$t$ で微分して $0$ とおく。

$$2\left({\vec{r}}_0\cdot \vec{v}\right)+2{\left|\vec{v}\right|}^{2}t=0⟹t=-\frac{{\vec{r}}_0\cdot \vec{v}}{{\left|\vec{v}\right|}^2}$$

値を入れる。${\vec{r}}_0\cdot \vec{v}=500\times (-20)+0\times 15=-10000$、$|\vec{v}{|}^2=625$ なので

$$t=\frac{10000}{625}=16\mathrm{s}✓$$

この形には意味がある。${\vec{r}}_0\cdot \vec{v}$ は「相対位置と相対速度がどれだけ向かい合っているか」を測る量である。

${\vec{r}}_0\cdot \vec{v}<0$ なら近づいていて、いつか最接近する。${\vec{r}}_0\cdot \vec{v}>0$ なら最初から遠ざかっているので、$t=0$ が最接近である(上の式は負の時刻を返すので、その場合は採用しない)。

${\vec{r}}_0\cdot \vec{v}=0$ なら、いまがちょうど最接近の瞬間である。

内積の符号だけで「近づいているか遠ざかっているか」が判定できる。レーダーや衛星の接近判定でも、まずこの符号を見る。