斜方投射の最高点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 最高点の条件は「鉛直方向の速度が $0$」である(水平速度は残っているので、全体の速度は $0$ ではない)。鉛直方向だけを見れば、これは初速 $19.6m/s$ の鉛直投げ上げにすぎない。

① 時間。 $v_y=v_{0y}-gt$ が $0$ になるときだから

$$0=19.6-9.8t⟹t=2.0秒$$

② 高さ。 投げ上げの変位の式で

$$h=v_{0y}t-\frac{1}{2}g{t}^2=19.6\times 2.0-4.9\times 4.0=39.2-19.6=19.6\mathrm{m}$$

まとめ 高さは $v_y^2-v_{0y}^2=-2gh$ に $v_y=0$ を入れた $h=\frac{v_{0y}^2}{2g}$ でも出せる($19.6^2/19.6=19.6$)。水平成分 $14.7$ は最高点の計算には一切登場しない。使わない情報を切り捨てられるかも、分解の理解のうちである。

別解

対称性で見るルート。 鉛直投げ上げは「上がる時間=下りる時間」。初速 $19.6m/s$ が毎秒 $9.8$ ずつ減るから、$0$ になるまで $2.0$ 秒。

高さは平均速度で考える。上がる間の鉛直速度は $19.6\to 0$ と一定の割合で減るから平均 $9.8m/s$。よって $h=9.8\times 2.0=19.6\mathrm{m}$。「平均×時間」の見方は計算が軽く、検算にも向く。