物理 / 平面内の運動

斜面への水平投射

★★ 標準水平投射斜面

問題

水平とのなす角 $45°$ の斜面の上端の点 O から、水平に速さ $9.8 m/s$ で小球を投げ出した。小球は斜面に沿って離れ、やがて斜面上の点 P に落ちた。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。(1) 投げてから P に達するまでの時間 (2) O から P までの水平距離を求めよ。

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「斜面上に落ちる」を数式にすると、落下点の x と y のあいだに斜面の傾きで決まる関係が成り立つ、ということ。45° 斜面なら、その関係はとても簡単な式になる。

解答・解説

方針

O を原点に、水平 x・下向き y をとる。軌道は x=9.8t、y=4.9t²。斜面 45° 上の点は y=x を満たすので、2 式を連立して t を出す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 斜面への投射は「着地点が斜面の式を満たす」という条件で解く。O を原点、水平に $x$ 、鉛直下向きに $y$ をとると、 $45°$ 下りの斜面は $y = x$ という直線である。放物線と直線の交点を求める構図になる。

① 運動の式。

$x = 9.8 t, y = 4.9 t^{2}$

② 斜面の条件 y=x を課す。

$4.9 t^{2} = 9.8 t ⟹ t (4.9 t - 9.8) = 0 ⟹ t = 2.0 秒$

( $t = 0$ は投げた瞬間の O 自身なので捨てる。)

③ 水平距離。

$x = 9.8 \times 2.0 = 19.6 m$

(このとき $y = 19.6 m$ で確かに $y = x$ 。斜面に沿った距離なら $19.6 2 \approx 28 m$ 。)

軌道 y=−0.051x² と斜面 y=−x の交点が落下点 P(x=19.6 m)

まとめ 斜面はただの「幾何条件」として式に混ぜればよい。傾き $θ$ の斜面なら条件は $y = x tan θ$ になる。 $t = 0$ の解が混ざるのは出発点も斜面上にあるからで、意味を考えて捨てる。

答

(1) $2.0$ 秒 (2) $19.6 m$ ( $\approx 20 m$ )

別解

比の関係で解くルート。 落下点では $\frac{y}{x} = tan 45° = 1$ 。 $y = 4.9 t^{2}$ 、 $x = 9.8 t$ を入れると

$\frac{4.9 t ^{2}}{9.8 t} = \frac{t}{2} = 1 ⟹ t = 2.0 秒$

$\frac{y}{x} = \frac{g t}{2 v _{0}}$ という比が「時間に比例して軌道が寝ていく」ことを表している。一般の角度 $θ$ でも $t = \frac{2 v _{0} tan θ}{g}$ と一気に出せる形で、覚え込むより導ける状態にしておきたい。

ポイント

斜面=幾何条件 y=x tanθ
放物線と直線の交点として解く
t=0 の解は出発点(捨てる)

よくある間違い

斜面に沿う距離と水平距離を混同する
y 軸の向き(下向き正)を忘れて符号が乱れる
t=0 を答えに含めてしまう