走るトラックの荷台から真上に投げる

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 この問題の核心は1つだけである。ボールが手を離れたあと、水平方向には何の力もはたらかない。

だから、ボールの水平の速さは投げた瞬間の値のまま変わらない。等速で走るトラックの水平の速さも変わらない。同じ速さのまま並んで進む ので、ボールは真上に上がって手に戻る。

地上から見ると、ボールは水平にも動いているから放物線を描く。同じ運動が、見る立場によって「まっすぐ上下」にも「放物線」にも見える。どちらも正しい。

加速するトラックでは、この一致が崩れる。トラックだけが速くなる ので、その差が着地点のずれになる。

① 荷台から見た運動。 鉛直方向は、どちらの立場でも同じ運動である。

$$T=\frac{2v_y}{g}=\frac{2\times 9.8}{9.8}=2.0\mathrm{s},H=\frac{v_y^2}{2g}=\frac{9.8^2}{19.6}=4.9\mathrm{m}$$

② 地上から見た運動。 ボールは、手を離れる瞬間にトラックと同じ水平の速さをもっている。したがって地上から見た初速は、水平 $7.35$、鉛直 $9.8$ の合成である。

$$v_0=\sqrt{7.35^2+9.8^2}=12.25m/s$$

$7.35:9.8:12.25=3:4:5$ になっている。向きは

$$\tan \theta =\frac{9.8}{7.35}=\frac{4}{3}(\theta \fallingdotseq 53^{\circ })$$

水平に進む距離は、水平の速さが変わらないので

$$x=7.35\times 2.0=14.7\mathrm{m}$$

③ 手に戻るか。 戻る。同じ $2.0\mathrm{s}$ のあいだに、トラックも $7.35\times 2.0=14.7\mathrm{m}$ 進む。ボールとトラックの水平の進みが等しい から、ボールは常に手の真上にあり、そのまま手に落ちてくる。

地上から見れば放物線、荷台から見れば上下の直線。同じ運動の2つの見え方である。

④ 加速しているとき。 ボールには相変わらず水平方向の力がないので、水平の速さは $7.35$ のままである。$2.0\mathrm{s}$ の進みは

$$x_{\text{ボール}}=7.35\times 2.0=14.7\mathrm{m}$$

トラックのほうは加速する。

$$x_{\text{トラック}}=7.35\times 2.0+\frac{1}{2}\times 2.0\times 2.0^2=14.7+4.0=18.7\mathrm{m}$$

差は

$$\Delta x=\frac{1}{2}a{T}^2=4.0\mathrm{m}$$

ボールは手より $4.0\mathrm{m}$ 後ろ に落ちる。

手に戻すには、その差ぶんだけ前へ余分な速度を与えればよい。滞空時間 $T$ のあいだに $\frac{1}{2}a{T}^2$ を稼ぐには

$$\Delta v=\frac{\frac{1}{2}a{T}^2}{T}=\frac{1}{2}aT=\frac{1}{2}\times 2.0\times 2.0=2.0m/s$$

鉛直成分は $9.8$ のままだから、傾けるべき角は

$$\tan \phi =\frac{\Delta v}{9.8}=\frac{2.0}{9.8}=\frac{a}{g}\fallingdotseq 0.20(\phi \fallingdotseq 12^{\circ })$$

進行方向へ約 $12^{\circ }$ 傾けて投げればよい。

まとめ 立場を乗り換えても運動そのものは変わらない。変わるのは見え方だけ である。等速で動く立場では見え方が単純になり、加速する立場ではずれが生まれる。どちらで考えてもよいが、力がはたらいていない向きを探す ことがいつでも出発点になる。

発展 — 一歩先へ。 ④で出た $\tan \phi =\frac{a}{g}$ という角は、加速する乗り物の中でつるした糸のおもりが傾く角と同じである。加速する立場に乗ると、重力と慣性力を合わせた「見かけの重力」が、鉛直から $\tan \phi =\frac{a}{g}$ だけ後ろへ傾く。

つまり答えは「見かけの鉛直の向きに投げればよい」と言いかえられる。加速する乗り物の中では、その向きが「真上」の役をする。地上から追いかけても、乗って考えても、同じ角にたどり着く。

別解

トラックに乗った立場だけで通すルート。 ④を、地上から見ずに荷台の上で考えることもできる。

加速するトラックに乗った人から見ると、ボールには重力のほかに 後ろ向きの慣性力 $ma$ がはたらいて見える。ボールの加速度は、下向きに $g$、後ろ向きに $a$ である。

真上に投げた場合、後ろ向きの加速度 $a$ だけが水平方向に効く。$2.0\mathrm{s}$ で

$$\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}\times 2.0\times 4.0=4.0\mathrm{m}$$

だけ後ろへずれる。地上から見て計算した差と、同じ $4.0\mathrm{m}$ である。

手に戻したければ、見かけの重力と正反対の向き に投げればよい。見かけの重力は下向き $g$ と後ろ向き $a$ の合成だから、その反対は上向き $g$ と前向き $a$ の合成で、鉛直から前へ

$$\tan \phi =\frac{a}{g}=\frac{2.0}{9.8}\fallingdotseq 0.20$$

傾いた向きである。本文の答えと一致する。

慣性力を使うと計算は短くなるが、「なぜ後ろへずれるのか」を素朴に語るなら、地上から見て トラックだけが加速していく と言うほうが分かりやすい。2つの立場を行き来できるようにしておくとよい。