空中で分裂しても重心は放物線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分裂したあとの $2$ つの破片を別々に追うこともできるが、もっと強い見方がある。

分裂を起こしたのは火薬、つまり内力である。内力は系全体の運動量を変えない。

そして重心の運動を決めるのは外力だけである。外力は重力だけなので、重心は分裂しようがしまいが、同じ放物線を描き続ける。

だから (4) の答えは、計算する前から分かっている。計算はその確認になる。

① 最高点。 鉛直方向の速度が $0$ になる時刻である。

$$t=\frac{19.6}{9.8}=2.0\mathrm{s}$$

$$h=\frac{19.6^2}{2\times 9.8}=19.6\mathrm{m}$$

$$x=10\times 2.0=20\mathrm{m}$$

② 分裂しない場合の落下点。 対称性から、落ちるまでの時間は $2$ 倍の $4.0\mathrm{s}$ である。

$$x=10\times 4.0=40\mathrm{m}$$

③ 分裂後。 最高点では速度が水平方向の $10m/s$ だけである。水平方向の運動量保存から

$$2m\times 10=m\times 0+m\times v⟹v=20m/s$$

他方は $20m/s$ で水平に飛ぶ。

$2$ つとも高さ $19.6\mathrm{m}$ から落ちるので、落下時間はどちらも

$$t=\sqrt{\frac{2\times 19.6}{9.8}}=2.0\mathrm{s}$$

速度が $0$ になった破片は、その場の真下に落ちる。

$$x_1=20\mathrm{m}$$

$20m/s$ で飛んだ破片は

$$x_2=20+20\times 2.0=60\mathrm{m}$$

④ 中点の確認と理由。

$$\frac{20+60}{2}=40\mathrm{m}$$

② の落下点と一致する ✓。

理由は、質量が等しいので $2$ つの破片の重心が中点にあり、その重心が分裂しなかった場合の軌道をそのままたどるからである。

火薬による力は内力なので、系全体の運動量を変えない。外力は重力だけで、これは分裂の前後で変わらない。だから重心の運動方程式は

$$2m{\vec{a}}_{\mathrm{G}}=2m\vec{g}$$

のまま、つまり重心はずっと同じ放物運動を続ける。

まとめ 「分裂しても重心は元の軌道」という事実を先に押さえると、片方が分かればもう片方が自動的に決まる。個別に追う前に、全体の性質を使う。

発展 — 一歩先へ。 ③ で「一方が逆向きに飛ぶ」場合も同じである。片方が $-5m/s$ なら、運動量保存から他方は $25m/s$ になり、落下点は $10\mathrm{m}$ と $70\mathrm{m}$ で、中点はやはり $40\mathrm{m}$ である。

質量が等しくない場合は、中点ではなく質量で重みをつけた点(重心)が元の落下点になる。$m_1{x}_1+m_2{x}_2=(m_1+m_2)x_{\mathrm{G}}$ である。

この性質は、ロケットの多段分離、隕石の空中分解、そして原子核の崩壊にも当てはまる。崩壊した破片がどこへ飛んでも、重心の運動は変わらない。実験では逆に、破片の飛跡から重心の運動を再構成し、見えない中性粒子の存在を推定するのに使われる。ニュートリノの発見も、この「合わない分」を追いかけた結果である。

別解

重心の座標を直接計算するルート。 分裂後の $2$ 破片の重心が、どの時刻でも元の放物線の上にあることを確かめられる。

分裂の瞬間($t=0$ とする)からの時間を $s$ とする。$2$ つの破片の位置は

$$x_1=20,y_1=19.6-\frac{1}{2}g{s}^2$$

$$x_2=20+20s,y_2=19.6-\frac{1}{2}g{s}^2$$

重心の座標は、質量が等しいので平均である。

$$x_{\mathrm{G}}=\frac{20+\left(20+20s\right)}{2}=20+10s$$

$$y_{\mathrm{G}}=19.6-\frac{1}{2}g{s}^2$$

これは「$x$ 方向に $10m/s$ の等速、$y$ 方向は最高点からの自由落下」である。分裂しなかった花火の運動そのものである。

たとえば $s=1.0\mathrm{s}$ なら $x_{\mathrm{G}}=30\mathrm{m}$、$y_{\mathrm{G}}=19.6-4.9=14.7\mathrm{m}$ となり、元の軌道の上にある。

このルートの利点は、「落下点だけでなく、途中のどの瞬間でも」重心が元の軌道にいると確かめられることである。

実際の花火が球状に広がるのも同じことで、破片は四方八方に飛ぶが、その重心は静かに元の放物線を落ちていく。夜空に広がる火の玉の中心が、打ち上げの軌道をそのまま追っていると思って見ると、また違った見え方になる。