物理 / 平面内の運動

水平投射と自由落下の同時着地

★ 基礎水平投射運動の独立性

問題

同じ高さ $4.9 m$ から同時に、小球 A を静かに落とし(自由落下)、小球 B を水平に $10 m/s$ で投げ出した。(1) A、B が地面に達するまでの時間をそれぞれ求めよ。(2) 先に着地するのはどちらか。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

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B の水平の速さは、落ちる速さに影響するだろうか。鉛直方向だけを取り出すと、A と B の運動はどう見えるかを比べてみよう。

解答・解説

鉛直方向の運動は、水平に投げても投げなくても同じ自由落下。落下時間は高さだけで決まるので、A と B は同時に着く。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 水平方向の運動と鉛直方向の運動は互いに影響しない(独立)。B は水平に動きながら落ちるが、鉛直方向だけを見れば A と全く同じ自由落下である。だから落下時間は同じになるはずだ。

① 時間を計算する。 どちらも鉛直方向は初速 $0$ の自由落下だから

$4.9 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^{2} ⟹ t^{2} = 1.0 ⟹ t = 1.0 秒$

A も B も $1.0$ 秒。

② 結論。 同時に着地する。 B は横へ $10 \times 1.0 = 10 m$ 進んだ場所に落ちるが、落ちるタイミングは変わらない。

A(自由落下)と B(水平投射)。鉛直方向は同じ運動で、着地も同時

まとめ 「速く投げたほうが長く空中にいる」ように感じるのは錯覚で、滞空時間を決めるのは鉛直方向だけである。この運動の独立性が、平面内の運動全体を支える大黒柱になる。

答

(1) どちらも $1.0$ 秒 (2) 同時に着地する

1 コマずつ比べるルート(直感派向け)。 $0.5$ 秒後、A は $1.225 m$ 落ちている。B も鉛直には同じ $1.225 m$ 落ちていて、横に $5.0 m$ ずれているだけ。

どの瞬間を切り取っても 2 球は同じ高さにいる。ストロボ写真のように各時刻を並べると、水平の動きが鉛直の落下に影響していないことが目で確認できる。