物理 / 平面内の運動

崖からの水平投射

★★ 標準水平投射

問題

高さ $44.1 m$ の崖の上から、水平に速さ $20 m/s$ で小球を投げ出した。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。(1) 落下時間 (2) 崖の下端から落下点までの水平距離 (3) 着地直前の速度の鉛直成分をそれぞれ求めよ。

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手順は水平投射の基本どおり。44.1=4.9×9 に気づくと、時間の計算が暗算になる。

解答・解説

h=½gt² から t、x=v₀t から水平距離、vy=gt から鉛直成分。基本の 3 点セットを桁に注意して回す。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 水平投射の 3 点セット(時間・水平距離・鉛直速度)を順に出す問題である。すべての出発点は鉛直方向の落下時間。 $44.1 = 4.9 \times 9$ という数の見え方が計算を軽くする。

① 落下時間。

$44.1 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^{2} = 4.9 t^{2} ⟹ t^{2} = 9.0 ⟹ t = 3.0 秒$

② 水平距離。

$x = v_{0} t = 20 \times 3.0 = 60 m$

③ 鉛直成分。

$v_{y} = g t = 9.8 \times 3.0 = 29.4 m/s$

崖 44.1 m(=4.9×3²)からの水平投射。t=3.0 s、水平 60 m

まとめ $4.9 m, 19.6 m, 44.1 m$ はそれぞれ落下 $1, 2, 3$ 秒に対応する高さである( $4.9 t^{2}$ )。この対応を頭に置いておくと、水平投射・自由落下の時間が見た瞬間に予想でき、検算にも役立つ。

答

(1) $3.0$ 秒 (2) $60 m$ (3) $29.4 m/s$ ( $\approx 29 m/s$ )

比で時間を出すルート。 落下距離は時間の 2 乗に比例する。 $4.9 m$ 落ちるのに $1.0$ 秒だから、 $44.1 m$ はその $9$ 倍、時間は $9 = 3$ 倍で $3.0$ 秒。

「2 乗に比例する量は、比で処理すると平方根 1 回で済む」。数値がきれいな物理の問題では、この比の感覚が計算ミスを大きく減らす。