物理 / 平面内の運動

変位ベクトルと平均の速度

★ 基礎ベクトル変位

問題

人が東へ $30 m$ 歩き、続けて北へ $40 m$ 歩いた。移動全体に $10$ 秒かかった。(1) 変位の大きさ (2) 平均の速度の大きさ (3) 平均の速さをそれぞれ求めよ。

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出発点と到達点を結ぶ矢印を描いてみよう。東 30 と北 40 は直角をなすから、矢印の長さは三平方の定理で出せる。「速度」と「速さ」で分子に使う量が違うことに注意。

解答・解説

変位は「出発点から到達点まで」の矢印で、道のりとは別物。直角に折れた移動なので三平方の定理で長さを出す。平均の速度は変位÷時間、平均の速さは道のり÷時間。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平面の運動では、位置の変化をベクトル(矢印)で扱う。変位は「実際にたどった道」ではなく「出発点から到達点へ引いた 1 本の矢印」である。ここが道のりとの分かれ目になる。

変位は出発点から到達点への 1 本の矢印。3:4:5 で 50 m

① 変位の大きさ。 東 $30 m$ と北 $40 m$ は直角だから、三平方の定理で

$3 0^{2} + 4 0^{2} = 900 + 1600 = 2500 = 50 m$

② 平均の速度。 変位を時間で割る。

$\frac{50}{10} = 5.0 m/s$

向きも含めていえば「北東寄り(東から北へ $53°$ の向き)に $5.0 m/s$ 」である。

③ 平均の速さ。 こちらは道のり(実際に歩いた長さ)を割る。

$\frac{30 + 40}{10} = 7.0 m/s$

まとめ 速度はベクトル(変位ベース)、速さはスカラー(道のりベース)。折れ曲がる移動では両者がずれる。 $3 : 4 : 5$ の直角三角形は平面運動の計算で何度も出てくるので、見た瞬間に $50$ と言えるようにしたい。

答

(1) $50 m$ (2) $5.0 m/s$ (3) $7.0 m/s$

成分で書くルート(得意な人向け)。 東を $x$ 、北を $y$ にとると、変位は $(30, 40)$ 。大きさは $3 0^{2} + 4 0^{2} = 50 m$ 。

平均の速度はベクトルのまま $(\frac{30}{10}, \frac{40}{10}) = (3.0, 4.0)$ で、大きさ $5.0 m/s$ 。成分で持っておくと、向きの計算( $tan θ = 4/3$ )にもそのままつながる。