崖の上から最も遠くへ投げる角

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 水平な地面で $45^{\circ }$ が最適なのは、投げた高さと落下点の高さが同じだからである。この対称性が崖では崩れる。

崖の上からは、そもそも落ちるまでに時間がある。だから上に投げて時間を稼ぐ必要が薄れ、水平の速さを大きくするほうが得になる。したがって最適角は $45^{\circ }$ より小さいはずである。

見通しが立ったところで、式で確かめていく。

① 滞空時間。 鉛直方向を上向きに正とすると、落下点は $y=-h$ である。

$$-h=v_0\sin \theta \cdot T-\frac{1}{2}g{T}^2$$

$T$ についての $2$ 次方程式を解き、正の解をとる。

$$T=\frac{v_0\sin \theta +\sqrt{v_0^2{\sin }^2\theta +2gh}}{g}$$

② 着地の速さ。 力学的エネルギー保存を使う。投げた瞬間と着地の瞬間で

$$\frac{1}{2}m{v}_0^2+mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$$

$$v=\sqrt{v_0^2+2gh}=\sqrt{96.04+288.12}=\sqrt{384.16}=19.6m/s$$

$\theta$ がどこにも出てこない。どの向きに投げても、着地の速さは同じである(向きは違う)。

③ 最適な角。 与えられた式に代入する。

$$\frac{2gh}{v_0^2}=\frac{2\times 9.8\times 14.7}{96.04}=3.0$$

$$\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2+3}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=0.447$$

$\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき $\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{5}}$ なので $\tan \theta =0.5$ である。

$$\theta =26.6^{\circ }$$

予想どおり $45^{\circ }$ より小さい。

④ 水平到達距離。 $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}$、$\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{5}}$ を ① に入れる。

$$v_0\sin \theta =\frac{9.8}{\sqrt{5}}=4.38m/s$$

$$T=\frac{4.38+\sqrt{19.2+288.12}}{9.8}=\frac{4.38+17.53}{9.8}=2.24\mathrm{s}$$

$$R=v_0\cos \theta \cdot T=8.77\times 2.24=19.6\mathrm{m}$$

一般式で書くと

$$R_{\max }=\frac{v_0\sqrt{v_0^2+2gh}}{g}=\frac{9.8\times 19.6}{9.8}=19.6\mathrm{m}$$

$45^{\circ }$ の $17.9\mathrm{m}$ より $1.7\mathrm{m}$ 遠い。差は約 $10\%$ である。

$R_{\max }$ の式の $\sqrt{v_0^2+2gh}$ は、② の着地の速さそのものである。つまり

$$R_{\max }=\frac{v_0\times (\text{着地の速さ})}{g}$$

という覚えやすい形になっている。

まとめ 落下点が低いと、対称性が崩れて最適角は $45^{\circ }$ より小さくなる。$h=0$ とすれば $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$、つまり $45^{\circ }$ に戻る。

発展 — 一歩先へ。 砲丸投げの最適角が $45^{\circ }$ より小さい($40^{\circ }$ 前後)のは、この崖の効果である。砲丸は肩の高さ(約 $2\mathrm{m}$)から投げられ、地面に落ちるので、$h>0$ の状況になっている。

さらに人間の身体の構造上、高い角では初速が出しにくい。$v_0$ が $\theta$ に依存するので、最適角はもっと小さくなる。実際の記録では $35^{\circ }$ 前後が多い。

理想化した物理の答え($45^{\circ }$)、条件を足した答え($40^{\circ }$)、現実の答え($35^{\circ }$)と、モデルを精密にするたびに答えが動く。どのモデルで何を問われているのかを見極めることが、応用では欠かせない。

別解

着地の速さを先に決めてしまうルート。 ② で着地の速さが角によらないと分かったので、それを出発点にすると計算が軽くなる。

着地の速度の水平成分を $u$、鉛直成分を $w$(下向きを正)とすると

$$u^2+w^2=v_0^2+2gh=384.16$$

いっぽう、水平成分は投げたときから変わらないので $u=v_0\cos \theta$ である。また鉛直方向は

$$w=v_0\sin \theta +gT\text{かつ}h=\frac{w^2-{\left(v_0\sin \theta \right)}^2}{2g}$$

水平到達距離は、水平方向が等速なので $R=uT$ である。$T$ は鉛直の速度変化から

$$T=\frac{w-v_0\sin \theta }{g}=\frac{w-\sqrt{v_0^2-u^2}}{g}$$

代入すると

$$R=\frac{u\left(w-\sqrt{v_0^2-u^2}\right)}{g}$$

ここで $w=\sqrt{384.16-u^2}$ である。$u$ だけの関数になったので、$u$ を動かして最大を探せばよい。

実際に $u=\frac{2\times 9.8}{\sqrt{5}}=8.77$ を入れると $w=\sqrt{384.16-76.9}=17.53$、$R=\frac{8.77\times (17.53-4.38)}{9.8}=19.6\mathrm{m}$ ✓ である。

このルートの見どころは、$u^2+w^2$ が一定という円の関係が現れることである。着地の速度ベクトルの先端は、半径 $19.6m/s$ の円の上を動く。投射角を変えることは、この円上で点を動かすことにあたる。

「保存量が円を描く」という見方は、運動量の問題(重心系で速度の先端が円を描く)でも出てくる。円が出たら、接線や垂線で最大最小が読めることが多い。