物理 / 平面内の運動

斜方投射の滞空時間と水平到達距離

★ 基礎斜方投射到達距離

問題

初速度の水平成分が $14.7 m/s$ 、鉛直成分が $19.6 m/s$ となるように、地面から小球を投げ出した。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。(1) 地面に戻ってくるまでの時間 (2) 落下点までの水平距離をそれぞれ求めよ。

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(1) は鉛直方向だけの問題。投げ上げて同じ高さに戻る時間は、最高点までの時間とどういう関係だったか。(2) はその時間だけ水平に等速で進む。

解答・解説

滞空時間は鉛直の投げ上げで「変位が 0 に戻る」時刻(最高点までの 2 倍)。水平距離は vx×滞空時間。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 地面に戻る条件は「鉛直方向の変位が $0$ 」。上がって下りる運動は対称だから、滞空時間は最高点までの時間のちょうど 2 倍になる。水平方向はその間ずっと等速で進む。

① 滞空時間。 鉛直の変位 $y = v_{0 y} t - \frac{1}{2} g t^{2} = 0$ から

$t (19.6 - 4.9 t) = 0 ⟹ t = \frac{19.6}{4.9} = 4.0 秒$

(最高点まで $2.0$ 秒の 2 倍、という対称性とも一致する。)

② 水平到達距離。

$x = v_{x} t = 14.7 \times 4.0 = 58.8 m$

滞空 4.0 秒(上り 2.0+下り 2.0)。水平距離は 14.7×4.0=58.8 m

まとめ 「鉛直で滞空時間を出す → 水平に掛ける」。水平投射(b03)と全く同じ骨組みで、鉛直が自由落下から投げ上げに変わっただけである。滞空時間の公式 $T = \frac{2 v _{0 y}}{g}$ は導出ごと覚えておくと速い。

答

(1) $4.0$ 秒 (2) $58.8 m$ ( $\approx 59 m$ )

対称性で組み立てるルート。 最高点まで $v_{0 y} / g = 2.0$ 秒(b06)。対称性で下りも $2.0$ 秒だから滞空 $4.0$ 秒。

水平距離は、最高点までに $14.7 \times 2.0 = 29.4 m$ 、下りでも同じく $29.4 m$ 進むから合計 $58.8 m$ 。軌道が左右対称であることを使うと、計算を半分に折りたためる。