天井のある部屋で最も遠くへ投げる

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「最も遠くへ」と聞いて $45^{\circ }$ と答えたくなる。しかしそれは空が開いているときの話である。

天井があると、ボールは高く上がりすぎてはいけない。つまり最高点の高さに上限がつく。最高点は角が大きいほど高いので、これは「使える角の上限」に言い換えられる。

一方、水平到達距離は $45^{\circ }$ に近づくほど大きい。そこで、許される角のうちいちばん $45^{\circ }$ に近いもの、つまり天井にぎりぎり触れる投げ方が答えになる。制約つきの最大は、こうして「境界」に現れることが多い。

① 天井がないときの最大。 投げ出しの角を $\theta$ とすると、次の2本がすべての出発点になる。

まず $\frac{v_0^2}{g}=\frac{14^2}{9.8}=20\mathrm{m}$ である。この $20\mathrm{m}$ がこの問題の基準になる長さで、以下ずっと出てくる。$R$ が最大になるのは $\sin 2\theta =1$、つまり $2\theta =90^{\circ }$ のときだから

$$\theta =45^{\circ },R=20\mathrm{m}$$

② その投げ方は天井に当たるか。 $\theta =45^{\circ }$ のとき ${\sin }^2\theta =\frac{1}{2}$ だから

$$H=\frac{v_0^2}{2g}\times \frac{1}{2}=\frac{20}{4}=5.0\mathrm{m}$$

天井は $3.6\mathrm{m}$ しかない。$5.0>3.6$ なので当たってしまう。つまり $45^{\circ }$ という答えはこの体育館では使えない。

③ 天井の下での最大。 条件は「最高点が天井以下」である。

$$\frac{v_0^2{\sin }^2\theta }{2g}\le h⟹{\sin }^2\theta \le \frac{2gh}{v_0^2}=\frac{2\times 9.8\times 3.6}{196}=0.36$$

$$\sin \theta \le 0.60$$

ここで $R=\frac{v_0^2}{g}\sin 2\theta$ は、$\theta$ が $0^{\circ }$ から $45^{\circ }$ まで増えるあいだずっと増え続ける。したがって許される中で最大の角、すなわち $\sin \theta =0.60$ が最適である。このとき $\cos \theta =0.80$ だから

$$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta =2\times 0.60\times 0.80=0.96$$

$$R=20\times 0.96=19.2\mathrm{m}$$

角は約 $37^{\circ }$ である。天井に届かない範囲でめいっぱい高く投げるのが、いちばん遠くへ飛ばす方法になる。

④ 制約が関係しなくなる高さ。 $45^{\circ }$ の最高点は $5.0\mathrm{m}$ だった。天井がこれ以上あれば、ボールは天井に届かないまま最も遠くへ飛べる。

$$h\ge 5.0\mathrm{m}$$

まとめ最大を聞かれたら、まず制約のない答えを出す。次にそれが許されるかを確かめる。許されなければ、境界まで戻って答える。この3手順は物理でも数学でも同じ形で使える。

発展。 天井の高さ $h$ を変えたときの到達距離を1本の式にまとめておくと、全体が見える。最高点をちょうど $h$ にする投げ方では、鉛直成分が $\sqrt{2gh}$、水平成分が $\sqrt{v_0^2-2gh}$、滞空時間が $2\sqrt{2h/g}$ だから

$$R(h)=2\sqrt{\frac{2h}{g}}\times \sqrt{v_0^2-2gh}=\sqrt{\frac{8h(v_0^2-2gh)}{g}}$$

$h=3.6$ を入れると $19.2\mathrm{m}$ で本文と一致する。この式を $h$ の関数として見ると、根号の中は $h$ の2次式で、$h=\frac{v_0^2}{4g}=5.0\mathrm{m}$ で最大になる。天井を高くしていくと $5.0\mathrm{m}$ で $20\mathrm{m}$ に達し、そこから先はいくら高くしても伸びない。①で出した答えと、確かにつながっている。

別解

縦を先に決めて、残りを横に回すルート。 角度の式を使わず、速度を縦と横に分けたまま考えても解ける。こちらのほうが「なぜ境界が最大か」が見えやすい。

最高点の高さを $H$ と決めてしまう。すると縦の運動だけで滞空時間が決まる。

$$v_y=\sqrt{2gH},t=\frac{2v_y}{g}=2\sqrt{\frac{2H}{g}}$$

$H=3.6$ なら $v_y=\sqrt{2\times 9.8\times 3.6}=8.4m/s$、$t=\frac{2\times 8.4}{9.8}=\frac{12}{7}\mathrm{s}$ である。速さ $14$ のうち $8.4$ を縦に使ったので、残りが横に回る。

$$v_x=\sqrt{14^2-8.4^2}=\sqrt{196-70.56}=11.2m/s$$

$$R=v_{x}t=11.2\times \frac{12}{7}=19.2\mathrm{m}$$

この見方だと、$H$ を大きくすると滞空時間は伸びるが水平の速さは減る、というせめぎ合いがそのまま見える。$14$ という速さでは、つり合いが取れる高さが $5.0\mathrm{m}$ である。天井がそれより低い $3.6\mathrm{m}$ なら、まだ「もっと高く上げたい」側にいるので、天井いっぱいまで使うのが得という結論になる。

数値も比もきれいに出るので、検算にも使える。$8.4:11.2:14=3:4:5$ になっていることに気づけば、$\sin \theta =0.6$ もその場で読める。