物理 / 平面内の運動

水平投射(着地の速度)

★ 基礎水平投射速度の合成

問題

高さ $19.6 m$ の崖の上から、水平に速さ $14.7 m/s$ で小球を投げ出した。地面に達する直前の速さを求めよ。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

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着地の瞬間、速度は斜め下を向いている。その矢印を水平と鉛直に分けると、水平成分はずっと変わらない。鉛直成分だけ自由落下で増えている。まず落下時間から鉛直成分を出そう。

解答・解説

着地時の速度を水平成分と鉛直成分に分けて出し、三平方の定理で合成する。水平成分は最初のまま 14.7、鉛直成分は vy=gt。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 速度も成分ごとに追えばよい。水平成分は最後まで $14.7 m/s$ のまま。鉛直成分は自由落下で $v_{y} = g t$ と増えていく。最後に 2 つの成分を三平方の定理で合成する。

① 落下時間。 前問と同じく $19.6 = \frac{1}{2} \times 9.8 t^{2}$ から $t = 2.0$ 秒。

② 着地時の鉛直成分。

$v_{y} = g t = 9.8 \times 2.0 = 19.6 m/s$

③ 合成する。 水平 $14.7$ 、鉛直 $19.6$ は直角だから

$v = 14. 7^{2} + 19. 6^{2} = 216.09 + 384.16 = 600.25 = 24.5 m/s$

着地時の速度。水平 14.7 と鉛直 19.6 を合成して 24.5 m/s(3:4:5)

まとめ $14.7 : 19.6 : 24.5 = 3 : 4 : 5$ になっている( $4.9$ の $3, 4, 5$ 倍)。物理の数値は比で見ると計算が軽くなる。速度の向きまで聞かれたら $tan θ = 19.6/14.7 = 4/3$ で答えればよい。

答

$24.5 m/s$ ( $\approx 25 m/s$ )

エネルギーで出すルート(得意な人向け)。 途中の時間を出さずに、速さだけを一気に求める道もある。

定理力学的エネルギー保存の法則:

\frac{1}{2} m v^{2} + m g h =

一定(重力だけが仕事をするとき)

質量 $m$ で割った形で使うと

$\frac{1}{2} v^{2} = \frac{1}{2} v_{0}^{2} + g h ⟹ v = 14. 7^{2} + 2 \times 9.8 \times 19.6 = 600.25 = 24.5 m/s$

「速さだけ知りたいならエネルギー」という選択肢を持っておくと、遠回りせずに済む問題が多い。ただし向きはこの方法では出ないので、成分ルートと使い分ける。