物理 / 平面内の運動

通った2点から初速と角を復元する

★★★★ 難関斜方投射軌道の式逆問題

問題

地面の点 O からボールを投げたところ、水平距離 $2.0 m$ の地点では高さ $1.8 m$ 、水平距離 $12 m$ の地点では高さ $4.8 m$ を通過した。時刻は測っていない。空気の抵抗は無視し、重力加速度の大きさを $g = 9.8 m/ s^{2}$ とする。

(1) 軌道が $y = A x - B x^{2}$ の形に書けることを示し、 $A$ と $B$ の値を求めよ。

(2) 投げ出しの角と初速の大きさを求めよ。

(3) O から着地点までの水平距離を求めよ。

(4) 最高点の水平距離と高さを求めよ。

原点から投げたボールが通過した2点。時刻は測られていない

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時間 $t$ を消してしまうと、何と何の関係が残るか。その式に未知の数はいくつあるか。

解答・解説

方針

時刻が分からなくても、軌道は $x$ と $y$ の関係として書ける。未知の定数は2つだけなので、通った2点を代入すれば決まる。あとは定数を物理量に翻訳する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 時刻が測られていない。ふつうの解き方では $t$ が主役なので、これは困る。

そこで $t$ を消してしまう 。水平方向は等速だから $t = \frac{x}{v _{0} cos θ}$ で、これを鉛直の式に入れれば、 $x$ と $y$ だけの関係が残る。これが軌道の式である。

軌道の式に含まれる未知の定数は2つだけである。通過点が2つ分かれば、連立して決まる。 出てきた定数を、あとから角と初速に翻訳すればよい。

① 軌道の式。 水平と鉛直に分けて書く。

$x = v_{0} cos θ \cdot t, y = v_{0} sin θ \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}$

第1式から $t = \frac{x}{v _{0} cos θ}$ を第2式に入れる。

$y = x tan θ - \frac{g}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} θ} x^{2}$

たしかに $y = A x - B x^{2}$ の形である。ここで

$A = tan θ, B = \frac{g}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} θ}$

2つの通過点を代入する。

$2 A - 4 B = 1.8, 12 A - 144 B = 4.8$

第1式を $2$ で、第2式を $12$ で割ると、そろった形になる。

$A - 2 B = 0.9, A - 12 B = 0.4$

引き算して

$10 B = 0.5 ⟹ B = 0.050, A = 0.9 + 2 \times 0.050 = 1.0$

② 角と初速。 $A = tan θ = 1.0$ だから

$θ = 4 5^{\circ}$

初速は $B$ から出す。 $\frac{1}{cos ^{2} θ} = 1 + tan^{2} θ = 1 + A^{2}$ を使うと、 $θ$ を経由せずに書ける。

$B = \frac{g ( 1 + A ^{2} )}{2 v _{0}^{2}} ⟹ v_{0}^{2} = \frac{g ( 1 + A ^{2} )}{2 B} = \frac{9.8 \times 2}{2 \times 0.050} = 196$

$v_{0} = 14 m/s$

重要軌道の式

y = x tan θ - \frac{g}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} θ} x^{2}

は、投射の問題で **時刻を聞かれていないとき** の主役になる

③ 着地点。 $y = 0$ とおく。

$x (A - B x) = 0 ⟹ x = \frac{A}{B} = \frac{1.0}{0.050} = 20 m$

④ 最高点。 放物線 $y = A x - B x^{2}$ の頂点は、2つの $x$ 切片 $0$ と $\frac{A}{B}$ の中点にある。

$x = \frac{A}{2 B} = 10 m, y = A \times 10 - B \times 100 = 10 - 5.0 = 5.0 m$

2点から決まった軌道。頂点と着地点は、決まった式から読み取れる

$v_{0} = 14$ 、 $θ = 4 5^{\circ}$ から直接計算しても、 $R = \frac{v _{0}^{2}}{g} = 20 m$ 、 $H = \frac{v _{0}^{2}}{4 g} = 5.0 m$ で一致する。

まとめ 測れていない量がある問題では、その量を消す ことをまず考える。時刻を消せば軌道の式が残り、未知数が2つに減って、点2つで決まる。式の形を見て「決めるべき定数はいくつか」を数える習慣が効く。

発展 — 一歩先へ。 軌道の写真からは $A$ と $B$ の2つしか読めない。 $A$ はそのまま角を与えるが、 $B$ から初速を出すには $g$ の値が要る。軌道の形だけを見ても $g$ は分からない ということである。

$g$ まで測りたければ、時間の情報がいる。等間隔の時刻で撮った連続写真なら、水平方向の間隔が一定であることから $v_{0} cos θ$ が直接読め、そこから $B$ を通して $g$ が出せる。形は角を、時間は $g$ を教える。 高校の実験でよく使う動画解析は、この2つを合わせて行っている。

答

(1) $A = tan θ$ 、 $B = \frac{g}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} θ}$ で、 $A = 1.0$ 、 $B = 0.050$ (2) $4 5^{\circ}$ 、 $14 m/s$ (3) $20 m$ (4) 水平距離 $10 m$ 、高さ $5.0 m$

別解

割り算で直線に直すルート。 連立方程式を解かずに、グラフの読み取りで済ませることもできる。実験データを扱うときの定石である。

$y = A x - B x^{2}$ の両辺を $x$ で割る。

$\frac{y}{x} = A - B x$

左辺を $x$ の1次関数として見ると、傾きが $- B$ 、切片が $A$ である。 与えられた2点から左辺を計算する。

$\frac{1.8}{2.0} = 0.90, \frac{4.8}{12} = 0.40$

つまり点 $(2.0, 0.90)$ と $(12, 0.40)$ を通る直線である。

$傾き = \frac{0.40 - 0.90}{12 - 2.0} = - 0.050 ⟹ B = 0.050$

$A = 0.90 + 0.050 \times 2.0 = 1.0$

同じ値が出た。

y/x を x に対してとると直線になる。傾きが −B、切片が A を与える

点が3つ以上あるときは、この直線に乗るかどうかで 測定が正しいかを確かめられる のが強みである。放物線のままでは目で判断しにくいが、直線からのずれなら一目で分かる。「曲線は直線に直してから読む」は、実験を扱うときにいつも効く考え方である。

ポイント

時刻が分からないときは $t$ を消す。残るのが軌道の式
軌道の式の未知定数は2つ。通過点2つで決まる
$1/ cos^{2} θ = 1 + tan^{2} θ$ を使うと、角を経由せずに初速が出せる

よくある間違い

通過点の水平距離を時刻だと思って代入してしまう。与えられているのは位置であって時間ではない
$B$ から初速を出すときに $cos^{2} θ$ を落とし、 $v_{0}^{2} = g /2 B$ としてしまう
最高点を「2つの通過点の中間」と考えてしまう。頂点は $x$ 切片の中点であって、通過点の中点ではない