最高点で速さが半分になる投射角

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 最高点で残る速さは水平成分 $v_0\cos \theta$ だけ(s04)。「それが $\frac{v_0}{2}$」という条件は、$\cos \theta$ の値を直接教えてくれる。(2) は一般式の比をとる計算で、比をとると $v_0$ と $g$ が消えるのがポイントである。

① 角度。

$$v_0\cos \theta =\frac{v_0}{2}⟹\cos \theta =\frac{1}{2}⟹\theta =60°$$

② h と R の比。 一般式は

$$h=\frac{v_0^2{\sin }^2\theta }{2g},R=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}=\frac{2v_0^2\sin \theta \cos \theta }{g}$$

比をとると

$$\frac{h}{R}=\frac{{\sin }^2\theta /2}{2\sin \theta \cos \theta }=\frac{\sin \theta }{4\cos \theta }=\frac{\tan \theta }{4}$$

$\theta =60°$ では $\tan 60°=\sqrt{3}$ だから

$$\frac{h}{R}=\frac{\sqrt{3}}{4}⟹h:R=\sqrt{3}:4$$

まとめ $\frac{h}{R}=\frac{\tan \theta }{4}$ は覚える式ではなく、比をとれば出てくる式。「比をとって定数を消す」のは、文字の多い力学で見通しを得る常套の一手である。

別解

数値でイメージを固めるルート。 $v_0=19.6m/s$、$\theta =60°$ で確かめる。$v_{0y}=19.6\times \frac{\sqrt{3}}{2}=17.0$、$v_x=9.8$。

$h=\frac{17.0^2}{19.6}=14.7\mathrm{m}$、滞空 $T=\frac{2\times 17.0}{9.8}=3.46$ 秒、$R=9.8\times 3.46=33.9\mathrm{m}$。

比は $\frac{14.7}{33.9}=0.433\approx \frac{\sqrt{3}}{4}=0.433$。文字式の結果と一致する。文字計算に不安があるときは、具体値で 1 回検算すると安心して先へ進める。