物理 / 平面内の運動

水平投射の軌道の式

★★ 標準水平投射軌道

問題

原点から水平に速さ $v_{0} = 7.0 m/s$ で小球を投げ出した。水平方向に $x$ 軸、鉛直下向きに $y$ 軸をとる。重力加速度の大きさを $g = 9.8 m/ s^{2}$ とする。(1) 時間 $t$ を用いずに、軌道の式( $y$ を $x$ で表した式)を導け。(2) $x = 7.0 m$ の位置での落下量 $y$ を求めよ。

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2 つの式に共通して入っている t を消したい。x の式を「t=…」の形に直して、y の式へ代入しよう。放物運動の軌道が「放物線」と呼ばれる理由が式に現れる。

解答・解説

方針

x=v₀t と y=½gt² から t を消去する。t=x/v₀ を y の式に代入すると、軌道が放物線 y∝x² であることが式で確かめられる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 水平・鉛直の 2 本の式は、どちらも時間 $t$ を仲立ちにしている。 $t$ を消去すれば、 $x$ と $y$ の直接の関係(軌道)が手に入る。消去のやり方は数学と同じ「一方を解いて代入」である。

① 2 本の式を書く。

$x = v_{0} t, y = \frac{1}{2} g t^{2}$

② t を消去する。 第 1 式から $t = \frac{x}{v _{0}}$ 。これを第 2 式へ代入して

$y = \frac{1}{2} g (\frac{x}{v _{0}})^{2} = \frac{g}{2 v _{0}^{2}} x^{2}$

数値を入れると $y = \frac{9.8}{2 \times 49} x^{2} = 0.10 x^{2}$ 。 $y$ が $x$ の 2 乗に比例する、まさに放物線である。

③ x=7.0 での落下量。

$y = 0.10 \times 7. 0^{2} = 4.9 m$

軌道 y=0.10x²(下向きに測った落下量)。x=7.0 で 4.9 m 落ちる

まとめ 「 $t$ を消去して軌道を出す」のは放物運動の定番操作。検算するなら $t = x / v_{0} = 1.0$ 秒 → $y = 4.9 \times 1. 0^{2} = 4.9 m$ と、 $t$ 経由でも同じ値になることを見ればよい。

答

(1) $y = \frac{g}{2 v _{0}^{2}} x^{2} = 0.10 x^{2}$ (2) $y = 4.9 m$

別解

t を経由して確かめるルート(苦手な人向け)。 (2) だけなら軌道の式を作らなくても解ける。 $x = 7.0$ に届く時刻は $t = \frac{7.0}{7.0} = 1.0$ 秒。そのときの落下量は

$y = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 1. 0^{2} = 4.9 m$

軌道の式は「毎回 $t$ を出す手間を 1 回の代入で済ませた形」だと考えると、(1) のありがたみがわかる。

ポイント

軌道は t の消去で出す
y=(g/2v₀²)x²(放物線)
検算は t 経由で

よくある間違い

t を消さずに y=½gt² のまま答える(x で表せの指示に合わない)
代入時に x/v₀ の 2 乗を忘れる
v₀² の計算(49)を 14 とする