流れのある川を往復するとどうなるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「行きは遅く、帰りは同じだけ速いのだから、往復では帳消しになる」と考えたくなる。これが落とし穴である。

遅い区間には長い時間いて、速い区間はすぐ終わる。損する時間のほうが長く効く ので、往復すると必ず遅くなる。

横断のほうは、流されずに真向かいへ着くために、ボートを少し上流へ向けて漕ぐことになる。すると岸に対する速さは $v$ より小さい $\sqrt{v^2-u^2}$ になる。これも損である。

どちらも損だが、損の大きさが違う 。そこがこの問題の面白いところである。

① コース A(上流へ往復)。 岸に対する速さは、上りが $5.0-3.0=2.0m/s$、下りが $5.0+3.0=8.0m/s$ である。

$$T_A=\frac{120}{2.0}+\frac{120}{8.0}=60+15=75\mathrm{s}$$

上りだけで $60\mathrm{s}$ もかかり、下りの $15\mathrm{s}$ では取り返せない。

② コース B(横断の往復)。 真向かいへ着くには、流されるぶんを打ち消すようにボートを上流へ向ける。ボートの速度 $5.0$ を斜辺、流れ $3.0$ を1辺とする直角三角形ができ、岸に対する速度は残りの辺になる。

$$\sqrt{5.0^2-3.0^2}=\sqrt{25-9}=4.0m/s$$

$3:4:5$ の三角形である。行きも帰りも同じ $4.0m/s$ だから

$$T_B=\frac{2\times 120}{4.0}=60\mathrm{s}$$

③ 流れがないとき。

$$T_0=\frac{2\times 120}{5.0}=48\mathrm{s}$$

$75>60>48$ である。流れがあると、縦の往復も横の往復も遅くなる。しかも 縦のほうがもっと遅い 。

④ 文字で書く。 上り $v-u$、下り $v+u$ だから

$$T_A=\frac{D}{v-u}+\frac{D}{v+u}=\frac{D(v+u)+D(v-u)}{(v-u)(v+u)}=\frac{2Dv}{v^2-u^2}$$

横断は

$$T_B=\frac{2D}{\sqrt{v^2-u^2}}$$

流れがないときの $T_0=\frac{2D}{v}$ で割ると、形がそろう。$k=\frac{u}{v}$ とおくと

$$\frac{T_A}{T_0}=\frac{1}{1-k^2},\frac{T_B}{T_0}=\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}$$

$0<k<1$ では $0<1-k^2<1$ だから、どちらの比も $1$ より大きい。流れは必ず時間を増やす。

さらに $1-k^2<\sqrt{1-k^2}$ だから $T_A>T_B$ である。数値で確かめると $k=0.6$ のとき

$$\frac{T_A}{T_0}=\frac{1}{0.64}=\frac{25}{16},\frac{T_B}{T_0}=\frac{1}{0.8}=\frac{5}{4}$$

$48\times \frac{25}{16}=75$、$48\times \frac{5}{4}=60$ となり、①②と合う。

まとめ 往復の平均の速さは、速さの平均ではない。遅いほうに長くいる ぶん、必ず遅い側へ引っぱられる。横断では速度の三角形が使え、直角に分けたぶんだけ損が小さくてすむ。

発展 — 一歩先へ。 この「縦の往復と横の往復では時間が違う」という結論は、物理の歴史でとても有名な役を演じた。

光を伝える媒質(エーテル)があると信じられていたころ、地球はその中を動いているはずだから、地球の進む向きに光を往復させたときと、直角の向きに往復させたときとで、時間に差が出る と考えられた。差は $k^2$ の程度で、ちょうどこの問題の $\frac{1}{1-k^2}$ と $\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}$ の違いにあたる。

マイケルソンとモーリーはこの差を光の干渉で測ろうとして、差が見つからなかった 。川とボートの常識が光には通用しないことが分かり、そこから相対性理論が生まれた。この問題は、その原型そのものである。

別解

比だけで考えるルート。 数値を1つずつ計算せずに、流れのないときを基準にした比で考えると、構造が先に見える。

流れの速さと船の速さの比を $k=\frac{3.0}{5.0}=0.6$ とおく。

上りの速さは $v(1-k)$、下りは $v(1+k)$ である。往復の時間は片道の時間 $\frac{D}{v}$ を単位にすると

$$\frac{1}{1-k}+\frac{1}{1+k}=\frac{2}{1-k^2}=\frac{2}{0.64}=3.125$$

流れがなければ $2$ だから、$\frac{3.125}{2}=1.5625=\frac{25}{16}$ 倍である。

横断は $\sqrt{1-k^2}=0.8$ 倍の速さなので、時間は $\frac{1}{0.8}=1.25$ 倍になる。

基準の往復時間 $\frac{2\times 120}{5.0}=48\mathrm{s}$ に掛けて

$$T_A=48\times \frac{25}{16}=75\mathrm{s},T_B=48\times \frac{5}{4}=60\mathrm{s}$$

この見方だと、答えが $D$ にも $v$ にも本質的には依存せず、比 $k$ だけで決まる ことがはっきりする。$k$ が $0$ に近ければどちらの損もごくわずかで、$k$ が $1$ に近づくと縦の往復だけが急激に発散する。流れの速さが船の速さに追いつくと、上流へは永久にたどり着けない。