物理 / 平面内の運動

30°と 60°の投射の比較

★★★ 応用斜方投射対称性

問題

地面から速さ $19.6 m/s$ で、水平とのなす角 $30°$ と $60°$ の 2 通りで小球を投げ出す。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ 、 $3 = 1.73$ とする。(1) それぞれの水平到達距離を求め、比較せよ。(2) それぞれの滞空時間を求め、その比を答えよ。

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R の式に含まれる角度は 2θ だった。2θ がそれぞれ 60° と 120° になるが、この 2 つの sin の値はどういう関係か。単位円で確かめてから計算に入るとよい。

解答・解説

方針

R=v₀²sin2θ/g で sin60° と sin120° が等しいことから、到達距離は同じ。滞空時間は sinθ に比例するので 30° と 60° で 1:√3。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 到達距離は $R = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g}$ で角度は $2 θ$ の形で効く。 $sin 60°$ と $sin 120°$ は単位円で対称( $sin (180° - x) = sin x$ )だから、 $30°$ と $60°$ の到達距離は等しくなるはず。滞空時間は $sin θ$ 比例なので、こちらは差がつく。

① 到達距離。

$R_{30} = \frac{19. 6 ^{2} sin 60°}{9.8} = \frac{384.16 \times 0.866}{9.8} = 33.9 m$

$R_{60} = \frac{19. 6 ^{2} sin 120°}{9.8} = 33.9 m$

$sin 120° = sin 60°$ より両者は等しい(約 $34 m$ )。

② 滞空時間。 $T = \frac{2 v _{0} sin θ}{g}$ より

$T_{30} = \frac{2 \times 19.6 \times 0.5}{9.8} = 2.0 秒, T_{60} = \frac{2 \times 19.6 \times 0.866}{9.8} = 3.46 \approx 3.5 秒$

比は $sin 30° : sin 60° = 1 : 3$ 。

30° と 60° は同じ 33.9 m に届く。滞空時間だけ 1:√3 で違う

まとめ $θ$ と $90° - θ$ の組(補角ペア)は常に同じ到達距離になる。 $60°$ は高く遅く、 $30°$ は低く速く、同じ場所に届く。ゴルフのクラブの打ち出し角の違いをイメージすると覚えやすい。

答

(1) どちらも約 $34 m$ ( $33.9 m$ )で等しい (2) $30°$ : $2.0$ 秒、 $60°$ : $3.5$ 秒( $23$ 秒)。比は $1 : 3$

別解

成分の入れ替わりで見るルート(公式に頼らない)。 $30°$ の分解は $(v_{x}, v_{0 y}) = (17.0, 9.8)$ 、 $60°$ は $(9.8, 17.0)$ 。2 つの成分がそっくり入れ替わっている。

$R = v_{x} \times \frac{2 v _{0 y}}{g}$ は 2 成分の積に比例するから、入れ替えても値は同じ。滞空時間は $v_{0 y}$ だけで決まるから $9.8 : 17.0 = 1 : 3$ 。公式の背後にあるのは、この成分の交換対称性である。

ポイント

θ と 90°−θ は同じ到達距離
sin(180°−x)=sin x
滞空時間の比は sinθ の比

よくある間違い

60° のほうが遠くへ飛ぶと予想したまま計算を合わせにいく
sin120° を負とする
滞空時間も同じとしてしまう(高い軌道ほど長い)