物理 / 平面内の運動

川渡りの 2 つの作戦の比較

★★ 標準相対速度川渡り

問題

川幅 $48 m$ 、流れの速さ $1.2 m/s$ の川を、静水上で $2.0 m/s$ で泳げる人が渡る。(1) 岸に垂直な向きに泳ぎ続けるとき、渡り切るまでの時間と、下流に流される距離を求めよ。(2) 最短の時間で渡りたいときは、どちらの作戦(垂直に泳ぐ/上流に傾けて泳ぐ)をとるべきか。理由とともに答えよ。

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渡る時間を決めるのは「対岸に向かう速度成分」だけだった。泳ぎの向きを変えると、その成分はどうなるか。速く渡ることと、流されないことは、両立しない別の目標である。

解答・解説

方針

垂直に泳げば対岸向き成分は 2.0 のままで時間最短(24 秒)。ただし流される。上流に傾けると流されない代わりに対岸向き成分が 1.6 に減り 30 秒かかる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 渡る時間は対岸向き成分だけで決まる。手持ちの速さ $2.0$ をどう配分するかの問題で、全部を対岸向きに使えば最速、上流に一部を割けば流されない代わりに遅くなる。トレードオフの構造を先につかむ。

① 垂直に泳ぐ場合。 対岸向き成分は最大の $2.0 m/s$ 。

$t = \frac{48}{2.0} = 24 秒$

その間、流れに運ばれる距離は

$x = 1.2 \times 24 = 28.8 \approx 29 m$

② 最短時間の作戦。 上流に傾ける(s08)と対岸向き成分は $1.6$ に減って $30$ 秒かかる。よって最短時間で渡るには垂直に泳ぐ。理由: 泳ぎの速さの全部が対岸向きに使われ、対岸向き成分が最大になるから。

垂直に泳ぐと最短時間だが流される。傾けると真っ直ぐだが遅い

まとめ 「最短時間=垂直に泳ぐ(ただし流される)」「流されない=上流に傾ける(ただし遅い)」。目的によって最適な向きが変わる。試験では「最短時間で」「真っ直ぐ対岸へ」のどちらの指定かをまず確認すること。

答

(1) $24$ 秒、流される距離 $28.8 m$ ( $\approx 29 m$ ) (2) 垂直に泳ぐ。渡る時間は対岸向き成分で決まり、垂直に泳ぐときが対岸向き成分最大( $2.0$ )だから

別解

数値で 2 案を並べるルート。

作戦	対岸向き成分	時間	流される距離
垂直に泳ぐ	$2.0$	$24$ 秒	$28.8 m$
上流へ $37°$	$1.6$	$30$ 秒	$0$

表にすると、時間と流されの交換関係が一目でわかる。比較問題は表で並べるのが最も誤解が少ない。

ポイント

時間は対岸向き成分だけで決まる
最短時間=垂直、流されない=上流へ傾ける
目的(時間か位置か)で最適が変わる

よくある間違い

「流されないほうが速い」と混同する
垂直に泳ぐ場合の時間に合成速さ 2.33 を使う
流される距離を 1.2×30 と s08 の時間で計算する