到達距離と最高点の高さが等しい投射角

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 a03 と同じく、一般式を書いて比を整理すると $v_0$ と $g$ が消え、角度だけの条件が残るタイプ。ゴールが $\tan \theta$ なので、式を $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ の形に寄せていく意識で変形する。

① 条件を式にする。 $h=R$ より

$$\frac{v_0^2{\sin }^2\theta }{2g}=\frac{2v_0^2\sin \theta \cos \theta }{g}$$

② 約分する。 両辺の $\frac{v_0^2}{g}$ を消し、さらに $\sin \theta (>0)$ で割ると

$$\frac{\sin \theta }{2}=2\cos \theta$$

③ tan の形へ。 両辺を $\cos \theta$ で割って

$$\frac{\tan \theta }{2}=2⟹\tan \theta =4$$

まとめ $\tan \theta =4$ は $\theta \approx 76°$、かなり高く上げる投げ方である。a03 で出した $\frac{h}{R}=\frac{\tan \theta }{4}$ を覚えていれば、$h=R$ を代入して 1 行で $\tan \theta =4$ と出る。個々の問題がバラバラの計算ではなく、1 本の関係式の使い回しであることに気づけると強い。

別解

h/R の関係式から一撃で出すルート。 a03 で導いた

$$\frac{h}{R}=\frac{\tan \theta }{4}$$

に $h=R$、つまり $\frac{h}{R}=1$ を代入して

$$1=\frac{\tan \theta }{4}⟹\tan \theta =4$$

導出済みの関係式をストックしておくと、この種の問題は代入 1 回に圧縮できる。