物理 / 平面内の運動

届く場所と届かない場所の境目

最難関編斜方投射判別式領域

問題

原点から初速の大きさ $v_{0} = 14 m/s$ で、鉛直面内のあらゆる向きにボールを投げられるとする。 $g = 9.8 m/ s^{2}$ 、空気抵抗は無視する。

投射角を $θ$ とすると、軌道は

$y = x tan θ - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} θ}$

と書ける。

同じ初速でいろいろな角に投げたときの軌道。

(1) $\frac{1}{cos ^{2} θ} = 1 + tan^{2} θ$ を使い、上の式を $tan θ$ についての $2$ 次方程式に整理せよ。

(2) 点 $(x, y)$ に届く投射角が存在する条件を、判別式から求めよ。

(3) (2) の等号が成り立つ点の集合(境界)は放物線になる。その式を求め、真上に投げたときの最高点と、水平な地面での最大射程が境界上にあることを確かめよ。

(4) 点 $(10, 5)$ と点 $(10, 9)$ は、それぞれ届くか届かないか。

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求めたいのは $θ$ そのものではなく「そんな $θ$ があるかどうか」である。何についての方程式とみると扱いやすいか。

解答・解説

方針

「届く角があるか」を「 $tan θ$ の $2$ 次方程式が実数解をもつか」に翻訳する。判別式が $0$ 以上という条件が、そのまま届く範囲を表す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「どこまで届くか」を角度ごとに調べていくと、無限に多くの放物線を相手にすることになる。

発想を変える。点 $(x, y)$ を先に決めて、「そこを通る $θ$ が存在するか」を問う。すると軌道の式は、 $θ$ についての方程式になる。

しかも $\frac{1}{cos ^{2} θ} = 1 + tan^{2} θ$ を使えば、 $tan θ$ の $2$ 次方程式になる。存在の判定は判別式でできる。

「解を求める」のではなく「解の存在条件を書く」ことが、この問題の急所である。

① $2$ 次方程式に整理する。 $t = tan θ$ とおく。

$y = x t - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}} (1 + t^{2})$

移項して整理する。

$\frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}} t^{2} - x t + (y + \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}}) = 0$

② 存在条件。 $t$ の実数解があればよい。判別式を計算する。

$D = x^{2} - 4 \cdot \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}} (y + \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}}) = x^{2} [1 - \frac{2 g}{v _{0}^{2}} (y + \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}})]$

$x \neq = 0$ なので、 $D \geq 0$ は角カッコの中が $0$ 以上ということである。両辺に $\frac{v _{0}^{4}}{2 g}$ を掛けて整理する。

$v_{0}^{4} - 2 g y v_{0}^{2} - g^{2} x^{2} \geq 0$

重要「届く角があるか」= 「

tan θ

の

2

次方程式が実数解をもつか」= 判別式の符号

③ 境界の放物線。 等号のときを $y$ について解く。

$y = \frac{v _{0}^{2}}{2 g} - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}}$

上に凸の放物線である。値を入れる。

$\frac{v _{0}^{2}}{2 g} = \frac{196}{19.6} = 10 m, y = 10 - \frac{9.8 x ^{2}}{392} = 10 - \frac{x ^{2}}{40}$

頂点は $(0, 10)$ で、これは真上に投げたときの最高点 $\frac{v _{0}^{2}}{2 g} = 10 m$ に一致する。

$y = 0$ とおくと $x^{2} = 400$ 、 $x = 20 m$ で、これは $4 5^{\circ}$ で投げたときの最大射程 $\frac{v _{0}^{2}}{g} = 20 m$ に一致する。

届く範囲の境界(赤)。すべての軌道がこの放物線に内側から接している。

④ $2$ 点の判定。 境界の式に $x = 10$ を入れると

$y = 10 - \frac{100}{40} = 7.5 m$

$(10, 5)$ は $5 < 7.5$ なので届く。 $(10, 9)$ は $9 > 7.5$ なので届かない。

まとめ 「存在するか」を問われたら、方程式の解の存在条件に翻訳する。判別式が領域の境界を描き出す。

発展 — 一歩先へ。 ③ の放物線を安全放物線という。砲弾の届かない安全な場所を示す、という物騒な由来である。

境界の内側の点には、判別式が正なので $2$ つの角で届く。高く投げるルートと低く投げるルートである。境界の上の点にはちょうど $1$ つの角でしか届かない(重解)。外側の点には届かない。

この境界は、すべての軌道の包絡線でもある。無限に多くの放物線が、 $1$ 本の放物線に外側から接している。

同じ発想は数学の「通過領域」の問題でそのまま使える。パラメータを含む曲線の族が覆う範囲を求めるとき、「そのパラメータが存在する条件」を書けばよい。物理の問題が、実は数学の定番の問題と同じ構造をしている。

答

$\frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}} tan^{2} θ - x tan θ + (y + \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}}) = 0$ 、条件は $v_{0}^{4} - 2 g y v_{0}^{2} - g^{2} x^{2} \geq 0$ 、境界は $y = \frac{v _{0}^{2}}{2 g} - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}}$ (頂点 $10 m$ ・ $x$ 切片 $20 m$ )、 $(10, 5)$ は届き $(10, 9)$ は届かない

別解

エネルギーの制約から出すルート。 判別式を使わずに、エネルギー保存と水平方向の速度から同じ境界が出せる。

点 $(x, y)$ を通過する瞬間の速さを $v$ とすると、エネルギー保存から

$\frac{1}{2} v_{0}^{2} = \frac{1}{2} v^{2} + g y ⟹ v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g y$

いっぽう、水平方向の速度 $u$ は一定である。 $(x, y)$ に到達する時間を $t$ とすると $x = u t$ で、鉛直方向は

$y = (v_{0} sin θ) t - \frac{1}{2} g t^{2}$

ここから先も計算になるので、もう少し賢い評価をする。

到達点までの時間 $t$ が決まると、水平距離 $x = u t$ である。この $u$ を大きくするには水平寄りに投げたいが、そうすると高さが稼げない。

実は「 $x$ を最大にする」問題は、 $y$ を固定したうえでの最適化になる。上の $2$ 式から $θ$ を消去すると、結局 ② と同じ不等式に行き着く。

より見通しがよいのは、時間 $t$ をパラメータにとる方法である。 $x = u t$ 、 $y = w t - \frac{1}{2} g t^{2}$ 、 $u^{2} + w^{2} = v_{0}^{2}$ から $u, w$ を消すと

$x^{2} + (y + \frac{1}{2} g t^{2})^{2} = v_{0}^{2} t^{2}$

これを $t^{2}$ の $2$ 次方程式とみて、正の解をもつ条件を考えても同じ境界が出る。

どの変数で「存在条件」を書くかは自由である。 $tan θ$ が最も計算が軽いが、 $t$ を選ぶと「いつ届くか」まで見えるという利点がある。

ポイント

「届く角があるか」を tanθ の 2 次方程式の解の存在に翻訳する
1/cos²θ=1+tan²θ が翻訳の鍵
判別式 = 0 が境界(安全放物線)
境界の頂点は真上に投げた最高点、x 切片は最大射程

よくある間違い

角度を 1 つずつ調べようとして無限の場合分けに入る
判別式を θ ではなく x について書いてしまう
境界の内側の点に届く角が 1 つだと考える(2 つある)