ビルの上からの斜方投射

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 高低差がある投射では、どこを原点にし、どちらを正にするかを最初に宣言するのが命綱になる。ここでは屋上を原点、上向きを正とする。すると地面は $y=-14.7\mathrm{m}$ である。

① 着地時刻。 鉛直方向は

$$y=9.8t-4.9t^2$$

地面に達するのは $y=-14.7$ のときだから

$$9.8t-4.9t^2=-14.7⟹t^2-2t-3=0⟹(t-3)(t+1)=0$$

$t>0$ より $t=3.0$ 秒。

② 水平距離。

$$x=10\times 3.0=30\mathrm{m}$$

③ 最高点の高さ。 屋上から測った最高点は $\frac{v_{0y}^2}{2g}=\frac{9.8^2}{19.6}=4.9\mathrm{m}$。地面からは

$$14.7+4.9=19.6\mathrm{m}$$

まとめ 2 次方程式の負の解 $t=-1$ は「時間をさかのぼれば $1$ 秒前に地面の高さにいた(仮想)」という意味で、物理的には捨てる。座標の宣言 → 2 次方程式 → 正の解を選ぶ、が高低差つき投射の定石である。

別解

運動を区切って足すルート(苦手な人向け)。 上りに $9.8/9.8=1.0$ 秒、屋上の高さに戻るまで対称でさらに $1.0$ 秒。このとき鉛直速度は下向き $9.8m/s$。

そこから地面まで $14.7\mathrm{m}$ は、初速 $9.8$ の投げ下ろし: $14.7=9.8t^{\prime }+4.9t^{\prime 2}$ より $t^{\prime 2}+2t^{\prime }-3=0$、$t^{\prime }=1.0$ 秒。

合計 $1.0+1.0+1.0=3.0$ 秒。区切ると各段が単純になるかわりに手数が増える。2 次方程式 1 本で済ませる本解と、好みで使い分けてよい。