物理 / 平面内の運動

30°の斜方投射

★★ 標準斜方投射到達距離

問題

地面から、水平とのなす角 $30°$ の向きに速さ $19.6 m/s$ で小球を投げ出した。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ 、 $3 = 1.73$ とする。(1) 滞空時間 (2) 水平到達距離をそれぞれ求めよ。

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「分解 → 鉛直で滞空時間 → 水平に掛ける」の型どおり。30° の分解では鉛直が半分、水平が √3/2 倍になる。

解答・解説

分解して v₀y=9.8、vx=9.8√3=17.0。滞空時間 T=2v₀y/g=2.0 秒、R=vx T。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 型どおり進める。「分解 → 鉛直で時間 → 水平で距離」。 $30°$ なので鉛直成分は半分、水平成分は $\frac{3}{2}$ 倍である。

① 分解する。

$v_{0 y} = 19.6 sin 30° = 9.8 m/s, v_{x} = 19.6 cos 30° = 9.8 3 = 17.0 m/s$

② 滞空時間。

$T = \frac{2 v _{0 y}}{g} = \frac{2 \times 9.8}{9.8} = 2.0 秒$

③ 水平到達距離。

$R = v_{x} T = 17.0 \times 2.0 = 33.9 \approx 34 m$

30° 投射。滞空 2.0 s、到達距離 17.0×2.0≈34 m

まとめ $v_{0 y} = 9.8$ のときの滞空時間が $2.0$ 秒になるのは、「毎秒 $9.8$ 減る初速 $9.8$ 」だから上りに $1.0$ 秒、対称で下りにも $1.0$ 秒、という数の噛み合わせである。 $3$ は最後にまとめて掛けると誤差が出にくい。

答

(1) $2.0$ 秒 (2) 約 $34 m$ ( $33.9 m$ )

公式 R=v₀²sin2θ/g で検算するルート(得意な人向け)。 到達距離の一般式に直接入れると

$R = \frac{19. 6 ^{2} sin 60°}{9.8} = \frac{384.16 \times 0.866}{9.8} = 33.9 m$

分解ルートと一致する。一般式は便利だが、地面の高さが変わる問題(ビルからの投射など)には使えない。分解ルートを主、公式を検算、という役割分担が安全である。